Questão 2. Uma partícula de massa m está restrita a se mover no interior de um cone vertical, cujas coordenadas, em termos de coordenadas cilíndricas, \rho, \varphi e z são dadas por z=\rho. Dessa forma, a partícula sofre a ação de um conjunto de potenciais, e a Lagrangiana do sistema assume a forma:
O que é pedido: determinar as equações de movimento para as coordenadas generalizadas \rho(t) e \varphi(t).
Informações relevantes que já temos:
As coordenadas dinâmicas são \rho e \varphi (funções do tempo).
A Lagrangiana está explicitamente dada acima.
Os parâmetros a e b aparecem no potencial; m é a massa da partícula.
A partir daqui vamos aplicar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento.
Passo 2
Regra que vamos usar (Euler–Lagrange): para cada coordenada generalizada q_i vale
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} é o momento conjugado associado à velocidade \dot{q}_i.
\frac{d}{dt}(\cdot) é a taxa de variação temporal desse momento.
\frac{\partial L}{\partial q_i} é como a Lagrangiana depende explicitamente da coordenada q_i (por exemplo via potencial).
Vamos aplicar essa fórmula primeiro para \rho e depois para \varphi. Antes simplifico a Lagrangiana para facilitar derivadas.
Passo 3
Simplificação algébrica da Lagrangiana: distribuir o fator \tfrac{1}{2}m
(uso a regra básica de derivação: d(\dot{\rho})/dt=\ddot{\rho}, m é constante.)
Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \rho}. Há duas dependências:
do termo \tfrac{1}{2}m\rho^2\dot{\varphi}^2: derivando em relação a \rho dá m\rho\dot{\varphi}^2 (pois \frac{d}{d\rho}\rho^2=2\rho e \tfrac{1}{2}\cdot 2 =1);
do termo -a\rho: derivando dá -a.
O termo -b\cos\varphi não depende de \rho. Assim
\frac{\partial L}{\partial \rho}=m\rho\dot{\varphi}^2 - a.
Mostrei passo a passo cada derivada para você poder repetir na prova.
Passo 5
Equação de Euler–Lagrange para \varphi.
Calcular \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}. A dependência é apenas em \tfrac{1}{2}m\rho^2\dot{\varphi}^2. Derivando em relação a \dot{\varphi}: