Questão 6 - Uma pequena usina monofásica alimenta 10 kW de aquecedores e 20 kVA de motores de indução. Os aquecedores são puramente resistivos ( f p=1 ) e os motores têm f p=0,7 (atrasado). Se a fonte é de 1.000 V e 60 Hz , determine a corrente total fornecida pela usina.
a) I_{T}=18,0 \mathrm{~A}
b) I_{T}=22,4 \mathrm{~A}
c) I_{T}=26,3 \mathrm{~A}
d) I_{T}=27,8 \mathrm{~A}
e) I_{T}=30,0 \mathrm{~A}

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede a corrente total fornecida pela usina:
  • Aquecedores: potência ativa P_{\text{q}} = 10\\ \text{kW} e fator de potência fp=1 (puros resistivos).
  • Motores: potência aparente S_{\text{m}} = 20\\ \text{kVA} e fator de potência fp=0,7 (atrasado).
  • Tensão da fonte: V = 1000\\ \text{V} (monofásica).
    A pergunta: determinar a corrente total I_T fornecida pela usina (valor eficaz).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Potência aparente \,S (em VA) é dada por \;S = V I\;, onde V é a tensão eficaz e I é a corrente eficaz (ambos em valores eficazes).
  • Potência ativa \,P (em W) é \;P = V I \cos\varphi\;, onde \cos\varphi é o fator de potência (ângulo \varphi é o desfasamento entre tensão e corrente).
  • Potência reativa \,Q (em var) é \;Q = V I \sin\varphi\;.
  • Relação entre as três potências (triângulo de potências): \;S^2 = P^2 + Q^2\;.
  • Quando há cargas com diferentes ângulos, as correntes devem ser somadas como fasores (ou seja, somam-se as componentes real e imaginária das correntes).
    Explicando as variáveis: V é a tensão eficaz (em V), I a corrente eficaz (em A), \varphi é o ângulo de defasagem (positivo para corrente adiantada, negativo para atrasada). No caso de motores “atrasado”, a corrente atrasa a tensão, então a componente reativa da corrente é negativa no plano complexo I.

Passo 3

Corrente dos aquecedores (resistivos, fp=1):
  • Para carga puramente resistiva \cos\varphi=1, logo I = P/V.
I_{\text{q}} = \frac{P_{\text{q}}}{V} = \frac{10{,}000\\ \text{W}}{1000\\ \text{V}} = 10\\ \text{A}.
Esse vetor de corrente está em fase com a tensão (ângulo 0^\circ), portanto I_{\text{q}} = 10 + j0\\ \text{A}.

Passo 4

Corrente dos motores (dados: S_{\text{m}}=20\\ \text{kVA}, fp=0,7 atrasado):
  • Magnitude da corrente aparente:
I_{\text{m}} = \frac{S_{\text{m}}}{V} = \frac{20{,}000\\ \text{VA}}{1000\\ \text{V}} = 20\\ \text{A}.
  • Ângulo de defasagem \varphi tal que \cos\varphi = 0{,}7. Calculando \varphi:
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}7) \approx 0{,}7954\\ \text{rad} \approx 45{,}57^\circ.
  • Componentes real e imaginária da corrente do motor:
I_{\text{m,real}} = I_{\text{m}}\cos\varphi = 20 \cdot 0{,}7 = 14\\ \text{A},
I_{\text{m,imag}} = I_{\text{m}}\sin\varphi = 20 \cdot \sqrt{1-0{,}7^{2}} = 20\cdot\sqrt{0{,}51}\approx 20\cdot0{,}714177\approx14{,}2835\\ \text{A}.
Como o fator é atrasado, a componente reativa é negativa no eixo imaginário, logo o fasor corrente do motor é
I_{\text{m}} = 14 - j\,14{,}2835\\ \text{A}.

Passo 5

Somando as correntes como fasores (adição componente a componente):
  • Parte real total:
I_{\text{T,real}} = I_{\text{q,real}} + I_{\text{m,real}} = 10 + 14 = 24\\ \text{A}.
  • Parte imaginária total:
I_{\text{T,imag}} = 0 + (-14{,}2835) = -14{,}2835\\ \text{A}.
Portanto o fasor da corrente total é
I_T = 24 - j\,14{,}2835\\ \text{A}.

Passo 6

Magnitude (valor eficaz) da corrente total:
|I_T| = \sqrt{I_{\text{T,real}}^{2} + I_{\text{T,imag}}^{2}} = \sqrt{24^{2} + (14{,}2835)^{2}} = \sqrt{576 + 204{,}0816} \approx \sqrt{780{,}0816} \approx 27{,}93\\ \text{A}.
Arredondando para uma casa decimal conforme as alternativas, obtemos 27{,}8\\ \text{A} (diferença de arredondamento pequena).

Resposta

d) I_{T}=27,8\\ \mathrm{A}

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