Questão 6

Um pistão cilíndrico vertical de diâmetro de 10 cm gira no interior de um mancal de diâmetro de 10,005 \mathrm{~cm}. A folga entre o pistão e o mancal é preenchido com óleo de viscosidade dinâmica de \mu_{\text {óleo }}=10^{-3} \mathrm{kgf} \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}ó. Se o mancal tem um comprimento de 25 cm e o cilindro gira com a rotação de 1500 rpm , qual será o momento resistente à rotação? Obs: O momento resistente à rotação ( \mathrm{M}_{\mathrm{R}} ) será dado pelo produto da força resistente com o raio do pistão. Resposta: Mr=
1,23 \mathrm{kgf} . \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede o momento resistente à rotação M_R de um pistão cilíndrico que gira dentro de um mancal, sabendo que a folga entre pistão e mancal está preenchida com óleo viscoso. Dados fornecidos (vou listar tudo para não perder nada):
\text{Diâmetro do pistão } D_p = 10\\ \text{cm}âã
\text{Diâmetro do mancal } D_m = 10{,}005\\ \text{cm}â
\text{Viscosidade dinâmica do óleo } \mu = 10^{-3}\\ \mathrm{kgf\\ s/m^{2}}âó
\text{Comprimento do mancal } L = 25\\ \text{cm}
\text{Rotação } n = 1500\\ \text{rpm}çã
O enunciado também observa que o momento resistente M_R será dado pelo produto da força resistente pelo raio do pistão. A missão é calcular M_R.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter diâmetros em raios (em metros) e achar a folga radial.
r_p = \frac{D_p}{2} = \frac{10\\ \text{cm}}{2} = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m}
r_m = \frac{D_m}{2} = \frac{10{,}005\\ \text{cm}}{2} = 5{,}0025\\ \text{cm} = 0{,}050025\\ \text{m}
A espessura da camada de óleo (folga radial) é
\delta = r_m - r_p = 0{,}050025 - 0{,}05 = 0{,}000025\\ \text{m} = 25\\ \mu\text{m}.

Passo 3

Converter a rotação em velocidade angular \omega (rad/s). Lembre que 1\\ \text{rpm} = \tfrac{2\pi}{60}\\ \text{rad/s}.
\omega = n\cdot\frac{2\pi}{60} = 1500\cdot\frac{2\pi}{60} = 25\cdot 2\pi = 50\pi\\ \text{rad/s}
\omega \approx 157{,}08\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Velocidade tangencial da superfície do pistão (na sua periferia):
V = \omega r_p = 50\pi \cdot 0{,}05 = 2{,}5\pi\\ \text{m/s}
V \approx 7{,}85398\\ \text{m/s}.

Passo 5

Explicação física e aproximação usada (muito importante para a prova): a folga \delta é muito pequena comparada ao raio do cilindro, então a camada de óleo pode ser aproximada por um escoamento de Couette entre duas superfícies quase planas (perfil de velocidade aproximadamente linear). Nessa aproximação a tensão de cisalhamento na superfície do pistão é dada por
\tau = \mu\frac{du}{dr}\approx \mu\frac{V}{\delta},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área), \mu é a viscosidade dinâmica, V é a velocidade tangencial da superfície que se move e \delta é a espessura da camada de fluido. A ideia física: em um escoamento viscoso laminar entre superfícies com diferença de velocidade V separadas por distância \delta, o gradiente de velocidade é \approx V/\delta.

Passo 6

Calcular a tensão de cisalhamento numérica:
\tau \approx \mu\frac{V}{\delta} = 10^{-3}\cdot\frac{7{,}85398}{0{,}000025}
Faço a razão primeiro:
\frac{V}{\delta}\approx \frac{7{,}85398}{0{,}000025}\approx 3{,}14159\times 10^{5}\\ \text{s}^{-1}
Logo
\tau \approx 10^{-3}\cdot 3{,}14159\times 10^{5}=3{,}14159\times 10^{2}\\ \mathrm{kgf/m^{2}}
\tau \approx 314{,}16\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.

Passo 7

Agora calculamos a área lateral do pistão sobre a qual essa tensão age. A área lateral do cilindro é a circunferência vezes o comprimento:
A = 2\pi r_p L.
Convertendo L para metros: L=25\\ \text{cm}=0{,}25\\ \text{m}. Então
A = 2\pi\cdot 0{,}05\cdot 0{,}25 = 0{,}025\pi\\ \text{m}^{2}
A \approx 0{,}0785398\\ \text{m}^{2}.

Passo 8

Força resistente por atrito (força tangencial total) é a tensão vezes a área:
F = \tau A \approx 314{,}159\cdot 0{,}0785398.
Calcule:
F \approx 24{,}6740\\ \mathrm{kgf}.

Passo 9

Finalmente o momento resistente M_R é a força times o braço (raio do pistão):
M_R = F\cdot r_p \approx 24{,}6740\cdot 0{,}05
M_R \approx 1{,}2337\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, conforme resposta dada no enunciado),
M_R \approx 1{,}23\\ \mathrm{kgf\cdot m}.

Resposta

M_R = 1,23\\ \mathrm{kgf\cdot m}

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