QUESTAO 1 (2,0 ponto cada)

Calcule as integrais abaixo
\begin{aligned} & \int x e^{-2 x} d x \\\ & \int x^{3 / 2} \ln x d x \\\ & \int x^{3} \sqrt{1+x^{2}} d x \\\ & \int x^{2} \operatorname{sen} 2 x d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as quatro integrais abaixo. Vou listar cada uma exatamente como dada para não me confundir:
\int x e^{-2 x} \, dx
\int x^{3 / 2} \ln x \, dx
\int x^{3} \sqrt{1+x^{2}} \, dx
\int x^{2} \operatorname{sen} 2 x \, dx
Estas são as quatro perguntas: calcular cada primitiva (integral indefinida) e apresentar o resultado com a constante de integração C.

Passo 2

Antes de resolver, uma ferramenta que vou usar várias vezes é a fórmula de integração por partes. Vou explicar e justificar passo a passo porque ela é fundamental para integrais do tipo produto de funções (como polinômios vezes exponencial, polinômios vezes seno/cosseno, ou polinômios vezes log).
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se eu tomar duas funções u(x) e v(x), a regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x e reorganizando, obtém-se a fórmula:
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx.
Na notação curta, escrevemos
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui eu explico o que é cada símbolo: u é uma função que escolho (de preferência cuja derivada du fique mais simples), dv é a outra parte do integrando que consigo integrar facilmente para obter v. Depois aplico uv - \int v\,du.
Também vou usar substituição simples quando a integral tiver uma composição óbvia f(g(x))g'(x): escolho t=g(x), então dt=g'(x)\,dx e transformo a integral em uma em t.
Agora uso essas ideias para cada integral, explicando claramente a escolha de u, dv, ou a substituição.

Passo 3

Calcular \int x e^{-2 x} \, dx.
Escolho usar integração por partes porque o integrando é produto de x (polinômio simples) por e^{-2x} (que é fácil de integrar). A escolha típica é:
u = x,\qquad dv = e^{-2x}\,dx.
Explico a razão: a derivada de x é mais simples ( du=dx), e dv pode ser integrado para achar v facilmente.
Calculando du e v:
du = dx,
v = \int e^{-2x}\,dx.
Para integrar e^{-2x}, uso a regra normal \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a} e^{ax}. Aqui a=-2, então
v = \frac{1}{-2} e^{-2x} = -\frac{1}{2} e^{-2x}.
Agora aplico a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{-2x}\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right)\,dx.
Simplificando os sinais:
= -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Já integramos \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}, então
\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) + C.
= -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C.
Posso fatorar e^{-2x} se quiser:
\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{e^{-2x}}{4}\big(2x+1\big) + C.
E pronto: essa é a primitiva.

Passo 4

Calcular \int x^{3 / 2} \ln x \, dx.
Aqui o integrando é produto de x^{3/2} (uma potência) por \ln x (logaritmo). Uma escolha padrão que funciona bem é tomar u=\ln x e dv = x^{3/2}\,dx, porque a derivada de \ln x é 1/x, que simplifica ao multiplicar por potências de x.
Então escolho:
u=\ln x,\qquad dv=x^{3/2}\,dx.
Calculo du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{3/2}\,dx.
Para integrar uma potência, uso a regra \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (quando n\neq-1). Aqui n=\tfrac{3}{2}, então
v = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}.
Agora aplico integração por partes:
\int x^{3/2}\ln x\,dx = uv - \int v\,du = \frac{2}{5} x^{5/2}\ln x - \int \frac{2}{5} x^{5/2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
= \frac{2}{5} x^{5/2}\ln x - \frac{2}{5}\int x^{3/2}\,dx.
Já calculamos \int x^{3/2}\,dx na linha anterior: \int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5} x^{5/2}. Assim
\int x^{3/2}\ln x\,dx = \frac{2}{5} x^{5/2}\ln x - \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5} x^{5/2} + C.
= \frac{2}{5} x^{5/2}\ln x - \frac{4}{25} x^{5/2} + C.
Posso fatorar x^{5/2}:
\int x^{3/2}\ln x\,dx = x^{5/2}\!\left(\frac{2}{5}\ln x - \frac{4}{25}\right) + C.

Passo 5

Calcular \int x^{3} \sqrt{1+x^{2}} \, dx.
Aqui vejo uma função composta \sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2} multiplicada por um polinômio. Uma boa ideia é usar a substituição
u = 1 + x^{2},
porque a derivada de 1+x^{2} é 2x, e o integrando tem x^{3}=x^{2}\cdot x — posso separar x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx e trocar x\,dx por du/2. Vou mostrar o passo a passo.
Faço a substituição:
u = 1 + x^{2} \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Além disso x^{2} = u - 1. Portanto
x^{3}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = x^{2}\cdot x\cdot u^{1/2}\,dx = (u-1)\,u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du.
Então a integral vira
\int x^{3}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int (u-1)u^{1/2}\,du.
Multiplico as potências:
(u-1)u^{1/2} = u^{3/2} - u^{1/2}.
Logo
\frac{1}{2}\int (u^{3/2}-u^{1/2})\,du = \frac{1}{2}\left(\int u^{3/2}\,du - \int u^{1/2}\,du\right).
Integro termo a termo usando a regra das potências:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}, \qquad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right) + C = \frac{1}{5}u^{5/2} - \frac{1}{3}u^{3/2} + C.
Voltando a x com u=1+x^{2}:
\int x^{3}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{5}(1+x^{2})^{5/2} - \frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2} + C.

Passo 6

Calcular \int x^{2} \operatorname{sen} 2 x \, dx.
Vou interpretar \operatorname{sen}2x como \sin(2x). Este integrando é um polinômio vezes uma função trigonométrica; técnica eficiente é integração por partes repetida (ou usar o método “tabular”). Vou fazer por partes duas vezes, mostrando cada escolha.
Primeira aplicação de partes: escolho
u_1 = x^{2},\qquad dv_1 = \sin(2x)\,dx,
pois u_1 ao derivar vira algo mais simples ( 2x) e dv_1 é fácil de integrar.
Calculo du_1 e v_1:
du_1 = 2x\,dx,
v_1 = \int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x),
pois \int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).
Aplicando partes:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = u_1 v_1 - \int v_1\,du_1 = -\frac{x^{2}}{2}\cos(2x) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o integrando:
= -\frac{x^{2}}{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx.
Agora preciso calcular \int x\cos(2x)\,dx. Faço outra integração por partes, com
u_2 = x,\qquad dv_2 = \cos(2x)\,dx.
Então
du_2 = dx,
v_2 = \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x),
pois \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax).
Aplicando partes:
\int x\cos(2x)\,dx = u_2 v_2 - \int v_2\,du_2 = \frac{x}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
A integral remanescente é \int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x), então
\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C.
Voltando à expressão anterior:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2}\cos(2x) + \left(\frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)\right) + C.
Agrupando termos com \cos(2x):
= \frac{x}{2}\sin(2x) + \left(-\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4}\right)\cos(2x) + C.
Se quiser, fatoro \frac{1}{4} para simplificar visualmente:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1-2x^{2}}{4}\cos(2x) + C.
E pronto: essa é a primitiva.

Resposta

\displaystyle \int x e^{-2 x} \, dx = -\frac{e^{-2x}}{4}\big(2x+1\big) + C
\displaystyle \int x^{3 / 2} \ln x \, dx = \frac{2}{5} x^{5/2}\ln x - \frac{4}{25} x^{5/2} + C
\displaystyle \int x^{3} \sqrt{1+x^{2}} \, dx = \frac{1}{5}(1+x^{2})^{5/2} - \frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2} + C
\displaystyle \int x^{2} \operatorname{sen} 2 x \, dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1-2x^{2}}{4}\cos(2x) + C

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