QUESTAO 1 (2,0 ponto cada)
Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as quatro integrais abaixo. Vou listar cada uma exatamente como dada para não me confundir:
Estas são as quatro perguntas: calcular cada primitiva (integral indefinida) e apresentar o resultado com a constante de integração
.
Passo 2
Antes de resolver, uma ferramenta que vou usar várias vezes é a fórmula de integração por partes. Vou explicar e justificar passo a passo porque ela é fundamental para integrais do tipo produto de funções (como polinômios vezes exponencial, polinômios vezes seno/cosseno, ou polinômios vezes log).
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se eu tomar duas funções
e
, a regra do produto diz
Integrando ambos os lados em
e reorganizando, obtém-se a fórmula:
Na notação curta, escrevemos
Aqui eu explico o que é cada símbolo:
é uma função que escolho (de preferência cuja derivada
fique mais simples),
é a outra parte do integrando que consigo integrar facilmente para obter
. Depois aplico
.
Também vou usar substituição simples quando a integral tiver uma composição óbvia
: escolho
, então
e transformo a integral em uma em
.
Agora uso essas ideias para cada integral, explicando claramente a escolha de
,
, ou a substituição.
Passo 3
Calcular
.
Escolho usar integração por partes porque o integrando é produto de
(polinômio simples) por
(que é fácil de integrar). A escolha típica é:
Explico a razão: a derivada de
é mais simples (
), e
pode ser integrado para achar
facilmente.
Calculando
e
:
Para integrar
, uso a regra normal
. Aqui
, então
Agora aplico a fórmula
:
Simplificando os sinais:
Já integramos
, então
Posso fatorar
se quiser:
E pronto: essa é a primitiva.
Passo 4
Calcular
.
Aqui o integrando é produto de
(uma potência) por
(logaritmo). Uma escolha padrão que funciona bem é tomar
e
, porque a derivada de
é
, que simplifica ao multiplicar por potências de
.
Então escolho:
Calculo
e
:
Para integrar uma potência, uso a regra
(quando
). Aqui
, então
Agora aplico integração por partes:
Simplificando dentro da integral:
Já calculamos
na linha anterior:
. Assim
Posso fatorar
:
Passo 5
Calcular
.
Aqui vejo uma função composta
multiplicada por um polinômio. Uma boa ideia é usar a substituição
porque a derivada de
é
, e o integrando tem
— posso separar
e trocar
por
. Vou mostrar o passo a passo.
Faço a substituição:
Além disso
. Portanto
Então a integral vira
Multiplico as potências:
Logo
Integro termo a termo usando a regra das potências:
Portanto
Voltando a
com
:
Passo 6
Calcular
.
Vou interpretar
como
. Este integrando é um polinômio vezes uma função trigonométrica; técnica eficiente é integração por partes repetida (ou usar o método “tabular”). Vou fazer por partes duas vezes, mostrando cada escolha.
Primeira aplicação de partes: escolho
pois
ao derivar vira algo mais simples (
) e
é fácil de integrar.
Calculo
e
:
pois
.
Aplicando partes:
Simplificando o integrando:
Agora preciso calcular
. Faço outra integração por partes, com
Então
pois
.
Aplicando partes:
A integral remanescente é
, então
Voltando à expressão anterior:
Agrupando termos com
:
Se quiser, fatoro
para simplificar visualmente:
E pronto: essa é a primitiva.