Situação 1 ( 2,0 pontos): Use a Regra da Cadeia.
(1,0 ponto) Sejam
e
. Calcule
(1,0 ponto) Sejam
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pergunta para calcular
.
Informações relevantes: depende de
e
;
e
dependem de
. A missão é obter a derivada total de
em relação a
.
Informações relevantes:
Passo 2
Ideia da solução (cadeia para funções de várias variáveis): quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada total é dada por
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
se só
variar (mantendo
fixo); multiplicamos ela pela velocidade
com que
muda no tempo. Fazemos o mesmo para
e somamos. Essa é a Regra da Cadeia para funções com duas variáveis internas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Use a regra para derivar
: se
então
. Aqui
. Então
Analogamente,
Aqui usei que
e
.
Passo 4
Calcular
e
a partir de
e
. Aplicando a regra da cadeia simples (derivada de
e
com argumento
):
Passo 5
Substituir as parciais e as derivadas de
na fórmula da Regra da Cadeia:
Fatorando
e o denominador comum:
Passo 6
Substituir
e
na expressão e simplificar:
Logo o numerador é
. Portanto
Observação rápida (ataque curto): também se podia notar antes que
, então
é constante, logo sua derivada em relação a
é zero — confirmação rápida do resultado anterior.