Situação 1 ( 2,0 pontos): Use a Regra da Cadeia.
(1,0 ponto) Sejam z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) ; x=\operatorname{sen}(3 t) e y=\cos (3 t). Calcule \frac{d z}{d t}

Passo 1

O enunciado dá as funções
z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr),\qquad x=\sin(3t),\qquad y=\cos(3t)
e pergunta para calcular \dfrac{dz}{dt}.
Informações relevantes: \;z depende de x e y; x e y dependem de t. A missão é obter a derivada total de z em relação a t.

Passo 2

Ideia da solução (cadeia para funções de várias variáveis): quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de t, a derivada total é dada por
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando devagar: \partial z/\partial x é a taxa de variação de z se só x variar (mantendo y fixo); multiplicamos ela pela velocidade \,dx/dt com que x muda no tempo. Fazemos o mesmo para y e somamos. Essa é a Regra da Cadeia para funções com duas variáveis internas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z. Use a regra para derivar \ln(u): se z=\ln(u) então dz/du=1/u. Aqui u=1+x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(1+x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Analogamente,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
Aqui usei que \partial(x^{2})/\partial x=2x e \partial(y^{2})/\partial y=2y.

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt a partir de x=\sin(3t) e y=\cos(3t). Aplicando a regra da cadeia simples (derivada de \sin e \cos com argumento 3t):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\sin(3t)=\cos(3t)\cdot 3=3\cos(3t),
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\cos(3t)=-\sin(3t)\cdot 3=-3\sin(3t).

Passo 5

Substituir as parciais e as derivadas de x,y na fórmula da Regra da Cadeia:
\frac{dz}{dt}=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 3\cos(3t)+\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot(-3\sin(3t)).
Fatorando 6 e o denominador comum:
\frac{dz}{dt}=\frac{6\bigl(x\cos(3t)-y\sin(3t)\bigr)}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Substituir x=\sin(3t) e y=\cos(3t) na expressão e simplificar:
x\cos(3t)-y\sin(3t)=\sin(3t)\cos(3t)-\cos(3t)\sin(3t)=0.
Logo o numerador é 6\cdot 0=0. Portanto
\frac{dz}{dt}=0.
Observação rápida (ataque curto): também se podia notar antes que \,x^{2}+y^{2}=\sin^{2}(3t)+\cos^{2}(3t)=1, então z=\ln(1+1)=\ln 2 é constante, logo sua derivada em relação a t é zero — confirmação rápida do resultado anterior.

Resposta

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