Questão 3 (1 ponto): Uma carga monofásica, quando alimentada por uma fonte de tensão v(t), apresenta uma corrente i(t), definidas em (1). Determine (a) a impedância desta carga, (b) a tensão e a corrente na notação fasorial e ( c ) as potências complexa, aparente, média e reativa, na referida carga.
v(t)=124 \cos (377 t+\pi / 6) V \quad \text { e } \quad i(t)=12,4 \cos (377 t-\pi / 6) A

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores textuais do enunciado):
  • Tensões e correntes no domínio do tempo:
    • v(t)=124\cos(377t+\pi/6)\\ \text{V}.
    • i(t)=12,4\cos(377t-\pi/6)\\ \text{A}.
  • O enunciado pede:
    (a) a impedância da carga;
    (b) a tensão e a corrente na notação fasorial;
    (c) as potências: complexa, aparente, média (real) e reativa, na carga.

Passo 2

Converter para fasores (explicação didática e cálculo).
  • O que é um fasor aqui? Um sinal x(t)=X_m\cos(\omega t+\theta) corresponde ao fasor (comum na análise de circuitos em regime senoidal estacionário) que pode ser escrito usando o valor eficaz (RMS) como \tilde{X}=X_{rms}\angle\theta, onde
    X_{rms}=\dfrac{X_m}{\sqrt{2}}.
    Aqui X_m é a amplitude (valor de pico) e \theta é a fase em radianos. Usar o valor RMS é padrão porque a potência ativa aparece diretamente com produtos RMS.
  • Aplicando ao caso:
    V_m=124,\qquad I_m=12,4,\qquad \theta_v=\tfrac{\pi}{6},\qquad \theta_i=-\tfrac{\pi}{6}.
    Calcular os valores RMS:
    V_{rms}=\dfrac{124}{\sqrt{2}},\qquad I_{rms}=\dfrac{12,4}{\sqrt{2}}.
    Vamos calcular numericamente (usar 3 casas relevantes):
    V_{rms} \approx 87,68\\ \text{V},\qquad I_{rms}\approx 8,768\\ \text{A}.
  • Portanto os fasores (na forma polar) são:
    \tilde{V}=87,68\angle\tfrac{\pi}{6}\\ \text{V}\quad\text{e}\quad \tilde{I}=8,768\angle\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{A}.
    (Em graus: \tilde{V}=87,68\angle30^\circ\\ \text{V} e \tilde{I}=8,768\angle-30^\circ\\ \text{A}.)

Passo 3

Determinar a impedância \tilde{Z} (fórmula, significado e cálculo).
  • O que é impedância? Em regime senoidal linear, a impedância complexa \tilde{Z} relaciona fasor tensão e fasor corrente por
    \tilde{Z}=\dfrac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.
    A impedância é um número complexo cuja parte real é a resistência R e cuja parte imaginária é a reatância X: \tilde{Z}=R+jX. Sinal positivo de X indica comportamento indutivo; negativo indica capacitivo.
  • Cálculo usando magnitudes e fases:
    |\tilde{Z}|=\dfrac{V_{rms}}{I_{rms}}=\dfrac{124}{12,4}=10\\ \Omega,
    e o ângulo é
    \angle \tilde{Z}=\theta_v-\theta_i=\tfrac{\pi}{6}-\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}\\ (\text{o que é }60^\circ).é
    Logo em forma polar:
    \tilde{Z}=10\angle\tfrac{\pi}{3}\\ \Omega.
  • Converter para forma retangular (mostra R e X):
    \tilde{Z}=10\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+j\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr)=10\bigl(0,5+j0,8660254\bigr)=5+j8,660\\ \Omega.
    Assim R=5\\ \Omega e X=8,660\\ \Omega (reatância indutiva).

Passo 4

Calcular as potências (fórmulas e interpretação).
  • Fórmula da potência complexa: para fasores em RMS,
    \tilde{S}=\tilde{V}\,\tilde{I}^*,
    onde \tilde{I}^* é o conjugado complexo de \tilde{I}. A potência complexa \tilde{S} pode ser escrita como
    \tilde{S}=P+jQ,
    com P potência média (ativa, em watts) e Q potência reativa (em var). O módulo |\tilde{S}| é a potência aparente (em VA).
    Outra relação útil: |\tilde{S}|=V_{rms}I_{rms} e o ângulo de \tilde{S} é o ângulo entre tensão e corrente ( \theta_v-\theta_i).
  • Cálculo numérico direto:
    produto RMS dos módulos:
    V_{rms}I_{rms}=\dfrac{V_m I_m}{2}=\dfrac{124\cdot12,4}{2}=768,8\\ \text{VA}.
    O ângulo de \tilde{S} é \theta_v-\theta_i=\pi/3. Então em forma polar:
    \tilde{S}=768,8\angle\tfrac{\pi}{3}\\ \text{VA}.
  • Converter para retangular para obter P e Q:
    P=\Re(\tilde{S})=768,8\cos\tfrac{\pi}{3}=768,8\cdot 0,5=384,4\\ \text{W},
Q=\Im(\tilde{S})=768,8\sin\tfrac{\pi}{3}=768,8\cdot 0,8660254\approx 665,8\\ \text{var}.
A potência aparente é |\tilde{S}|=768,8\\ \text{VA}.
  • Interpretação rápida: Q>0 significa que a carga é indutiva (estoque de energia magnética maior que elétrica), consistente com X>0 encontrado na impedância.

Resposta

(a) \tilde{Z}=10\angle\tfrac{\pi}{3}\\ \Omega = 5 + j8,660\\ \Omega
(b) \tilde{V}=87,68\angle\tfrac{\pi}{6}\\ \text{V} \
\tilde{I}=8,768\angle\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{A}
(c) \tilde{S}=768,8\angle\tfrac{\pi}{3}\\ \text{VA} = 384,4 + j665,8\\ \text{VA} \
Potência aparente: |\tilde{S}|=768,8\\ \text{VA} \
Potência média (ativa): P=384,4\\ \text{W} \
Potência reativa: Q=665,8\\ \text{var}

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