O campo elétrico em uma região é dado por
, onde
e
são constantes e
é a distância (tridimensional) até a origem do sistema, com
sendo o respectivo versor. A densidade de carga dessa região é dada por:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
- O campo elétrico é
, onde e são constantes, é a distância tridimensional até a origem e é o versor radial. - O problema apresenta a expressão da densidade de carga como
.
O que é pedido: obter (ou verificar) a expressão da densidade de carga espacial que corresponde a esse campo elétrico.
Passo 2
Estratégia e fórmula principal que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A lei de Gauss na forma diferencial relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade volumétrica de carga:
onde
é a divergência do campo elétrico e
é a densidade de carga elétrica (algumas vezes denotada por
ou por
; aqui usarei
para ser explícito). A constante
é a permissividade do vácuo.
- Assim, a densidade de carga é dada por
Observação importante sobre notação no enunciado: na expressão que foi fornecida aparece um expoente com
em vez de
. Isso parece ser um erro de digitação. Vou assumir que o expoente correto é
(isto é, o mesmo
que aparece em
); no final escreverei a densidade usando a notação
se for o que o enunciado quer, mas com
consistente.
Passo 3
Como calcular a divergência de um campo puramente radial dependendo só de
.
Para um campo vetorial radial que depende só de
,
a divergência em coordenadas esféricas (ou obtida por argumento físico via fluxo) vale
Explicação física curta e intuitiva (sem jargão pesado): pegue uma casca esférica de raio
e espessura
. O fluxo total atravessando a casca é aproximadamente a diferença entre
e
. Expandindo isso e dividindo pelo volume da casca
e tomando o limite
obtém-se exatamente a fórmula acima. Essa é a razão por que a divergência reduz-se a derivada radial combinada com o fator
.
Passo 4
Aplicar essa fórmula ao nosso campo
.
Aqui
. Primeiro calculemos
:
Agora derivamos em relação a
(usando regra do produto). Calcule passo a passo:
Usando regra do produto em
:
E
. Substituindo:
Multiplicando por
:
Agora aplicamos a fórmula da divergência:
Simplificando fator
:
Passo 5
Usar a lei de Gauss diferencial para obter a densidade de carga.
Lembrando que
, substituímos o resultado do passo anterior:
Se o enunciado prefere usar
para denotar a densidade, então podemos escrever
Passo 6
Comentários didáticos e observações práticas (pra te preparar na prova):
- Domínio de validade: a dedução usando a expressão
pressupõe . Em pode haver comportamento singular que exige cuidado (distribuições/delta de Dirac) — em muitas questões de prova basta dizer "para " ou mencionar que pode existir contribuição singular na origem. Aqui, próximo de a expressão comporta-se como , que diverge; logo, é razoável afirmar que a fórmula vale para e que a origem precisa de análise extra se pedida. - Checagem rápida de dimensões:
deve ter dimensão de campo elétrico e dimensão de . Então tem dimensão de carga por volume — coerente. - Exemplo concreto para fixar a ideia: se
então (campo radial constante) e a densidade fica , mostrando dependência radial (divergente na origem). Se e forem positivos a parte eventualmente torna a densidade negativa para suficientemente grande (ou seja, cargas negativas dominam em grandes distâncias), o que é aceito fisicamente dependendo do problema.