O campo elétrico em uma região é dado por \vec{E}=\alpha e^{-\beta r} \hat{r}, onde \alpha e \beta são constantes e r é a distância (tridimensional) até a origem do sistema, com \hat{r} sendo o respectivo versor. A densidade de carga dessa região é dada por:
p(r)=\varepsilon_{0} \alpha e^{-\rho r}\left(\frac{2}{r}-\beta\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • O campo elétrico é \vec{E}=\alpha e^{-\beta r}\,\hat{r}, onde \alpha e \beta são constantes, r é a distância tridimensional até a origem e \hat{r} é o versor radial.
  • O problema apresenta a expressão da densidade de carga como p(r)=\varepsilon_{0} \alpha e^{-\rho r}\left(\frac{2}{r}-\beta\right).
O que é pedido: obter (ou verificar) a expressão da densidade de carga espacial que corresponde a esse campo elétrico.

Passo 2

Estratégia e fórmula principal que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A lei de Gauss na forma diferencial relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade volumétrica de carga:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho_{\text{c}}}{\varepsilon_{0}},
onde \nabla\cdot\vec{E} é a divergência do campo elétrico e \rho_{\text{c}} é a densidade de carga elétrica (algumas vezes denotada por \rho ou por p; aqui usarei \rho_{\text{c}}(r) para ser explícito). A constante \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Assim, a densidade de carga é dada por
\rho_{\text{c}}(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E}.
Observação importante sobre notação no enunciado: na expressão que foi fornecida aparece um expoente com \rho em vez de \beta. Isso parece ser um erro de digitação. Vou assumir que o expoente correto é \beta (isto é, o mesmo \beta que aparece em \vec{E}); no final escreverei a densidade usando a notação p(r) se for o que o enunciado quer, mas com \beta consistente.

Passo 3

Como calcular a divergência de um campo puramente radial dependendo só de r.
Para um campo vetorial radial que depende só de r,
\vec{A}(r)=A_r(r)\,\hat{r},
a divergência em coordenadas esféricas (ou obtida por argumento físico via fluxo) vale
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}A_r(r)\big).
Explicação física curta e intuitiva (sem jargão pesado): pegue uma casca esférica de raio r e espessura dr. O fluxo total atravessando a casca é aproximadamente a diferença entre 4\pi (r+dr)^2 A_r(r+dr) e 4\pi r^2 A_r(r). Expandindo isso e dividindo pelo volume da casca 4\pi r^2 dr e tomando o limite dr\to0 obtém-se exatamente a fórmula acima. Essa é a razão por que a divergência reduz-se a derivada radial combinada com o fator r^2.

Passo 4

Aplicar essa fórmula ao nosso campo \vec{E}.
Aqui A_r(r)=E_r(r)=\alpha e^{-\beta r}. Primeiro calculemos r^{2}E_r(r):
r^{2}E_r(r)=\alpha r^{2} e^{-\beta r}.
Agora derivamos em relação a r (usando regra do produto). Calcule passo a passo:
\frac{d}{dr}\big(\alpha r^{2} e^{-\beta r}\big) =\alpha\frac{d}{dr}\big(r^{2} e^{-\beta r}\big).
Usando regra do produto em r^{2} e^{-\beta r}:
\frac{d}{dr}\big(r^{2} e^{-\beta r}\big) =2r\,e^{-\beta r}+r^{2}\,\frac{d}{dr}(e^{-\beta r}).
E \dfrac{d}{dr}(e^{-\beta r})=-\beta e^{-\beta r}. Substituindo:
\frac{d}{dr}\big(r^{2} e^{-\beta r}\big) =2r\,e^{-\beta r}-\beta r^{2} e^{-\beta r} =e^{-\beta r}(2r-\beta r^{2}).
Multiplicando por \alpha:
\frac{d}{dr}\big(\alpha r^{2} e^{-\beta r}\big) =\alpha e^{-\beta r}(2r-\beta r^{2}).
Agora aplicamos a fórmula da divergência:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}E_r(r)\big) =\frac{1}{r^{2}}\cdot\alpha e^{-\beta r}(2r-\beta r^{2}).
Simplificando fator r:
\nabla\cdot\vec{E}=\alpha e^{-\beta r}\left(\frac{2}{r}-\beta\right).

Passo 5

Usar a lei de Gauss diferencial para obter a densidade de carga.
Lembrando que \rho_{\text{c}}(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E}, substituímos o resultado do passo anterior:
\rho_{\text{c}}(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha e^{-\beta r}\left(\frac{2}{r}-\beta\right).
Se o enunciado prefere usar p(r) para denotar a densidade, então podemos escrever
p(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha e^{-\beta r}\left(\frac{2}{r}-\beta\right).

Passo 6

Comentários didáticos e observações práticas (pra te preparar na prova):
  • Domínio de validade: a dedução usando a expressão \nabla\cdot\vec{E}=(1/r^{2})d(r^{2}E_r)/dr pressupõe r>0. Em r=0 pode haver comportamento singular que exige cuidado (distribuições/delta de Dirac) — em muitas questões de prova basta dizer "para r>0" ou mencionar que pode existir contribuição singular na origem. Aqui, próximo de r=0 a expressão comporta-se como \sim 2\varepsilon_{0}\alpha/r, que diverge; logo, é razoável afirmar que a fórmula vale para r>0 e que a origem precisa de análise extra se pedida.
  • Checagem rápida de dimensões: \alpha deve ter dimensão de campo elétrico e \beta dimensão de 1/\text{comprimento}. Então \varepsilon_{0}\alpha e^{-\beta r}(2/r-\beta) tem dimensão de carga por volume — coerente.
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: se \beta=0 então \vec{E}=\alpha\hat r (campo radial constante) e a densidade fica p(r)=\varepsilon_{0}\alpha\cdot\frac{2}{r}, mostrando dependência radial 1/r (divergente na origem). Se \alpha e \beta forem positivos a parte -\beta eventualmente torna a densidade negativa para r suficientemente grande (ou seja, cargas negativas dominam em grandes distâncias), o que é aceito fisicamente dependendo do problema.

Resposta

p(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha e^{-\beta r}\left(\dfrac{2}{r}-\beta\right)

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