Determine o módulo do campo elétrico dentro e fora do material de uma casca esférica de raio interno a e raio externo b, cuja densidade volumétrica de carga é dada por \rho(r)=\rho_{0}(1-a / r), onde \rho_{0} é uma constante e r é a distância ao centro da casca.
\bar{E}=\frac{P O}{\varepsilon_{0} r^{2}}\left(\frac{b^{3}}{3}-\frac{a b^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica com raio interno a e raio externo b. A densidade volumétrica de carga dentro do material (entre r=a e r=b) é
\rho(r)=\rho_{0}\!\left(1-\frac{a}{r}\right),
onde \rho_{0} é constante e r é a distância ao centro. O que se pede é o módulo do campo elétrico (ou seja, |\mathbf{E}|) “dentro e fora do material” da casca esférica. Para ser completo, vamos fornecer o campo em cada região radial distinta:
  • r<a (dentro da cavidade vazia);
  • a<r<b (dentro do próprio material, na casca);
  • r>b (fora da casca, região externa).
As informações importantes: os raios a e b, a função \rho(r) dada, e que a geometria é esfericamente simétrica (a densidade depende só de r). Não há mais dados numéricos; a resposta será em termos de a, b, \rho_{0} e \varepsilon_{0}.

Passo 2

Princípio que vamos usar: Lei de Gauss para o campo elétrico. Vou explicar passo a passo.
A Lei de Gauss, em sua forma integral, diz:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico;
  • d\mathbf{A} é o vetor área da superfície fechada S (módulo igual à área elemental, direção normal para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície S;
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a densidade depende só de r), se escolhemos S uma esfera de raio r centrada no centro da casca, então em qualquer ponto da superfície S o campo tem mesma magnitude E(r) e é radial. Assim:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Logo a Lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}},
ou seja
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Aqui Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida em todo volume de raio menor ou igual a r. Nossa tarefa é calcular Q_{\text{int}}(r) nas diferentes faixas de r.

Passo 3

Cálculo da carga elementar e montagem da integral. A carga em um casquinha esférica de raio r' e espessura dr' é
dQ=\rho(r')\,dV=\rho(r')\cdot 4\pi r'^{2}\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\!\left(1-\dfrac{a}{r'}\right) obtemos
dQ=4\pi\rho_{0}\left(1-\frac{a}{r'}\right)r'^{2}\,dr' =4\pi\rho_{0}\bigl(r'^{2}-a r'\bigr)\,dr'.
Para encontrar a carga contida entre dois raios r_1 e r_2 fazemos a integral
Q(r_1\to r_2)=\int_{r_1}^{r_2} 4\pi\rho_{0}\bigl(r'^{2}-a r'\bigr)\,dr'.

Passo 4

Carga contida quando a<r<b (ou seja, carga total dentro de uma esfera de raio r com a<r<b). Integramos de r'=a até r'=r (não há carga para r'<a):
Q_{\text{int}}(r)=\int_{a}^{r}4\pi\rho_{0}\bigl(r'^{2}-a r'\bigr)\,dr' =4\pi\rho_{0}\left[\frac{r'^{3}}{3}-\frac{a r'^{2}}{2}\right]_{a}^{r}.
Agora avaliamos os limites:
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\rho_{0}\!\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{a r^{2}}{2}-\left(\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{2}\right)\right).
Calcule a combinação dentro do parêntese para o termo em a^{3}:
\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{2}=a^{3}\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=a^{3}\!\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{a^{3}}{6}.
Subtraindo esse termo (lembre do sinal) resulta em +\dfrac{a^{3}}{6}. Portanto
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\rho_{0}\!\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{a r^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\right), \qquad \text{para } a<r<b.

Passo 5

Campo elétrico para a<r<b. Aplicando Gauss:
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{4\pi\rho_{0}\!\left(\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{a r^{2}}{2}+\dfrac{a^{3}}{6}\right)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Os 4\pi cancelam, ficando
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\, \frac{\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{a r^{2}}{2}+\dfrac{a^{3}}{6}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{r}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^{3}}{6r^{2}}\right), \quad \text{para } a<r<b.
Essa é uma forma mais explícita e fácil de manipular para cálculo rápido.

Passo 6

Campo no exterior ( r>b). A carga total da casca é Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(b). Usando a expressão já obtida para Q_{\text{int}}(r) e substituindo r=b,
Q_{\text{tot}}=4\pi\rho_{0}\!\left(\frac{b^{3}}{3}-\frac{a b^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\right).
Para r>b toda a carga está dentro da superfície esférica de raio r, então pela Lei de Gauss
E(r)=\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\!\left(\frac{b^{3}}{3}-\frac{a b^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\right), \qquad \text{para } r>b.

Passo 7

Campo na cavidade vazia ( r<a). Para r<a a superfície acima de raio r não engloba nenhum material carregado (a densidade é definida apenas para a\le r\le b), então Q_{\text{int}}(r)=0. Pela Lei de Gauss:
E(r)=0,\qquad \text{para } r<a.
Observação útil: a expressão para E(r) logo acima de r=a (limite r\to a^{+}) dá zero também, pois Q_{\text{int}}(a)=0 — ou seja, o campo é contínuo em r=a.

Resposta

E(r)=0 para r<a\n
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{r}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^{3}}{6r^{2}}\right), \quad a<r<b\n
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\!\left(\frac{b^{3}}{3}-\frac{a b^{2}}{2}+\frac{a^{3}}{6}\right), \quad r>b

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