Determine o módulo do campo elétrico dentro e fora do material de uma casca esférica de raio interno
e raio externo
, cuja densidade volumétrica de carga é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro da casca.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica com raio interno
e raio externo
. A densidade volumétrica de carga dentro do material (entre
e
) é
onde
é constante e
é a distância ao centro. O que se pede é o módulo do campo elétrico (ou seja,
) “dentro e fora do material” da casca esférica. Para ser completo, vamos fornecer o campo em cada região radial distinta:
-
(dentro da cavidade vazia); -
(dentro do próprio material, na casca); -
(fora da casca, região externa).
As informações importantes: os raios
e
, a função
dada, e que a geometria é esfericamente simétrica (a densidade depende só de
). Não há mais dados numéricos; a resposta será em termos de
,
,
e
.
Passo 2
Princípio que vamos usar: Lei de Gauss para o campo elétrico. Vou explicar passo a passo.
A Lei de Gauss, em sua forma integral, diz:
onde:
-
é o campo elétrico; -
é o vetor área da superfície fechada (módulo igual à área elemental, direção normal para fora); -
é a carga total contida dentro da superfície ; -
é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a densidade depende só de
), se escolhemos
uma esfera de raio
centrada no centro da casca, então em qualquer ponto da superfície
o campo tem mesma magnitude
e é radial. Assim:
Logo a Lei de Gauss reduz-se a
ou seja
Aqui
é a carga total contida em todo volume de raio menor ou igual a
. Nossa tarefa é calcular
nas diferentes faixas de
.
Passo 3
Cálculo da carga elementar e montagem da integral. A carga em um casquinha esférica de raio
e espessura
é
Substituindo
obtemos
Para encontrar a carga contida entre dois raios
e
fazemos a integral
Passo 4
Carga contida quando
(ou seja, carga total dentro de uma esfera de raio
com
). Integramos de
até
(não há carga para
):
Agora avaliamos os limites:
Calcule a combinação dentro do parêntese para o termo em
:
Subtraindo esse termo (lembre do sinal) resulta em
. Portanto
Passo 5
Campo elétrico para
. Aplicando Gauss:
Os
cancelam, ficando
Essa é uma forma mais explícita e fácil de manipular para cálculo rápido.
Passo 6
Campo no exterior (
). A carga total da casca é
. Usando a expressão já obtida para
e substituindo
,
Para
toda a carga está dentro da superfície esférica de raio
, então pela Lei de Gauss
Passo 7
Campo na cavidade vazia (
). Para
a superfície acima de raio
não engloba nenhum material carregado (a densidade é definida apenas para
), então
. Pela Lei de Gauss:
Observação útil: a expressão para
logo acima de
(limite
) dá zero também, pois
— ou seja, o campo é contínuo em
.