Questão 4 (1.0 ponto). Determine o ângulo das retas s:(x, y, z)=(1,0,0)+t(2,1,-1) e r: x-12=-y=-z

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. Para isso, vamos usar o fato de que o cosseno do ângulo theta entre duas retas é dado por
costheta = lvert v1cdot v2rvert|v1|;|v2|,
onde v1 e v2 são os vetores diretores das retas.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
– Para scolon (x,y,z)=(1,0,0)+t(2,1,-1), o vetor diretor é
vs = (2,1,-1)
– Para rcolon tfracx-12=-y=-z, definimos o parâmetro lambda tal que
x-12=lambda, y=-lambda, z=-lambda,
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vr = (2,-1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
vscdot vr = 2cdot 2 + 1cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = 4 - 1 + 1 = 4,
|vs| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz6, |vr| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz6

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno,
costheta = |4|raiz6,raiz6 = 46 = 23,
portanto
theta = arccos!l(tfrac23r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac23r)

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