Questão 5 ( 1,0 ponto): Determine a matriz jacobiana de
k(x, y, z)=(f(y, z), h(z, x))
no ponto (2,1,0).
[D k(2,1,0)]=[

Passo 1

O enunciado pede a matriz jacobiana de k no ponto (2,1,0). As informações dadas são:
k(x,y,z) = (\,f(y,z),\; h(z,x)\,).
As perguntas implícitas são: calcular todas as derivadas parciais \partial k_i/\partial x_j em (2,1,0) e montar a matriz jacobiana [D k(2,1,0)].

Passo 2

Lembro o que é a matriz jacobiana: para k:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com componentes k_1 e k_2, a matriz jacobiana é a matriz 2\times 3 cujos elementos são
[Dk]_{ij}=\frac{\partial k_i}{\partial v_j},
onde a ordem das variáveis é (v_1,v_2,v_3)=(x,y,z). Aqui k_1(x,y,z)=f(y,z) e k_2(x,y,z)=h(z,x).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da primeira componente k_1(x,y,z)=f(y,z).
  • Como f depende só de y e z, a derivada parcial em relação a x é zero:
\frac{\partial k_1}{\partial x}(x,y,z)=0.
  • A derivada parcial em relação a y é a derivada parcial de f em relação ao seu primeiro argumento (que chamamos de f_y):
\frac{\partial k_1}{\partial y}(x,y,z)=f_y(y,z).
Aqui f_y(y,z) significa: "derivar f(u,v) em relação a u e depois avaliar u=y,\;v=z".
  • A derivada parcial em relação a z é a derivada parcial de f em relação ao seu segundo argumento:
\frac{\partial k_1}{\partial z}(x,y,z)=f_z(y,z).

Passo 4

Agora as derivadas da segunda componente k_2(x,y,z)=h(z,x).
  • Como h não depende de y, a derivada parcial em relação a y é zero:
\frac{\partial k_2}{\partial y}(x,y,z)=0.
  • A derivada parcial em relação a x é a derivada de h em relação ao seu segundo argumento (que aqui é x); chamamos isso de h_x quando indicamos derivada em relação ao segundo argumento:
\frac{\partial k_2}{\partial x}(x,y,z)=h_x(z,x).
Aqui h_x(z,x) significa: "derivar h(a,b) em relação a b e avaliar a=z,\;b=x".
  • A derivada parcial em relação a z é a derivada de h em relação ao seu primeiro argumento:
\frac{\partial k_2}{\partial z}(x,y,z)=h_z(z,x).

Passo 5

Agora avaliamos tudo no ponto (x,y,z)=(2,1,0). Atenção às ordens dos argumentos quando avaliamos:
  • Para k_1 (que usa f(y,z)) devemos avaliar f_y e f_z em (y,z)=(1,0).
  • Para k_2 (que usa h(z,x)) devemos avaliar h_x e h_z em (z,x)=(0,2).
Assim as derivadas avaliadas são:
\frac{\partial k_1}{\partial x}(2,1,0)=0,\quad \frac{\partial k_1}{\partial y}(2,1,0)=f_y(1,0),\quad \frac{\partial k_1}{\partial z}(2,1,0)=f_z(1,0),
\frac{\partial k_2}{\partial x}(2,1,0)=h_x(0,2),\quad \frac{\partial k_2}{\partial y}(2,1,0)=0,\quad \frac{\partial k_2}{\partial z}(2,1,0)=h_z(0,2).

Passo 6

Montamos a matriz jacobiana 2\times 3 usando a ordem de variáveis (x,y,z) nas colunas e componentes k_1,k_2 nas linhas. Colocando as derivadas avaliadas, obtemos a matriz:
[D k(2,1,0)] = \begin{pmatrix} 0 & f_y(1,0) & f_z(1,0)\\[4pt] h_x(0,2) & 0 & h_z(0,2) \end{pmatrix}.]

Resposta

[D k(2,1,0)] = \begin{pmatrix} 0 & f_y(1,0) & f_z(1,0)\\[4pt] h_x(0,2) & 0 & h_z(0,2) \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados