Questão 5 ( 1,0 ponto): Determine a matriz jacobiana de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz jacobiana de
no ponto
. As informações dadas são:
As perguntas implícitas são: calcular todas as derivadas parciais
em
e montar a matriz jacobiana
.
Passo 2
Lembro o que é a matriz jacobiana: para
com componentes
e
, a matriz jacobiana é a matriz
cujos elementos são
onde a ordem das variáveis é
. Aqui
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da primeira componente
.
- Como
depende só de e , a derivada parcial em relação a é zero:
- A derivada parcial em relação a
é a derivada parcial de em relação ao seu primeiro argumento (que chamamos de ):
Aqui
significa: "derivar
em relação a
e depois avaliar
".
- A derivada parcial em relação a
é a derivada parcial de em relação ao seu segundo argumento:
Passo 4
Agora as derivadas da segunda componente
.
- Como
não depende de , a derivada parcial em relação a é zero:
- A derivada parcial em relação a
é a derivada de em relação ao seu segundo argumento (que aqui é ); chamamos isso de quando indicamos derivada em relação ao segundo argumento:
Aqui
significa: "derivar
em relação a
e avaliar
".
- A derivada parcial em relação a
é a derivada de em relação ao seu primeiro argumento:
Passo 5
Agora avaliamos tudo no ponto
. Atenção às ordens dos argumentos quando avaliamos:
- Para
(que usa ) devemos avaliar e em . - Para
(que usa ) devemos avaliar e em .
Assim as derivadas avaliadas são:
Passo 6
Montamos a matriz jacobiana
usando a ordem de variáveis
nas colunas e componentes
nas linhas. Colocando as derivadas avaliadas, obtemos a matriz: