Questão 5 (0,5 ponto)

Uma impedância é formada pela composição em série de um resistor R, um indutor L, mais um capacitor C. Sendo a frequêncía de operação do círcuíto para essa impedância igual a 10 Hz , determine a impedância resultante nessa frequência quando \mathrm{R}=1 ohm, \mathrm{L}=0,01 \mathrm{H} e \mathrm{C}=0,5 \mathrm{~F}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a impedância resultante, à frequência de operação de 10\\ \text{Hz}, de um circuito série formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor C. Dados fornecidos:
R=1\\ \Omega,\quad L=0{,}01\\ \text{H},\quad C=0{,}5\\ \text{F},\quad f=10\\ \text{Hz}.
A pergunta é: qual é a impedância complexa total Z do conjunto na frequência dada?

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessários (explicação didática):
  • Impedância é a generalização da resistência para sinais senoidais e é um número complexo que combina parte real (resistiva) e parte imaginária (reativa). Usamos j para a unidade imaginária em circuitos elétricos ( j^2=-1).
  • Para elementos ideais:
    • Resistor: \displaystyle Z_R=R (apenas parte real).
    • Indutor: \displaystyle Z_L=j\omega L, onde \omega é a frequência angular e L é a indutância.
    • Capacitor: \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}, onde C é a capacitância.
  • Frequência angular: \displaystyle \omega=2\pi f. Explico: f é ciclos por segundo; 2\pi converte ciclos para radianos por segundo — importante porque as fórmulas de reatância usam radianos.
  • Em série, impedâncias somam diretamente componente a componente: Z = Z_R + Z_L + Z_C.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números dados.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\\ \text{rad/s}.
Para registro, nota-se que 20\pi é aproximadamente
\omega \approx 62{,}8318530718\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Impedância do indutor \displaystyle Z_L = j\omega L.
Calculemos com L=0{,}01\\ \text{H}:
\omega L = 20\pi \cdot 0{,}01 = 0{,}2\pi = \frac{\pi}{5}\approx 0{,}6283185307.
Portanto
Z_L = j\,0{,}6283185307\\ \Omega.

Passo 5

Impedância do capacitor \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}.
Calculemos com C=0{,}5\\ \text{F}:
\omega C = 20\pi \cdot 0{,}5 = 10\pi \approx 31{,}4159265359,
\frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10\pi} \approx 0{,}0318309886.
Como Z_C=-j/(\omega C), temos
Z_C = -j\,0{,}0318309886\\ \Omega.

Passo 6

Somando as impedâncias em série:
Z = Z_R + Z_L + Z_C = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}.
Substituindo os números encontrados:
Z = 1 + j\bigl(0{,}6283185307 - 0{,}0318309886\bigr)\\ \Omega.
Calculando a parte imaginária:
0{,}6283185307 - 0{,}0318309886 = 0{,}5964875421.
Logo
Z = 1 + j\,0{,}5964875421\\ \Omega.

Passo 7

Interpretação final e (opcional) magnitude e fase para intuição:
  • A parte real 1\\ \Omega é a resistência.
  • A parte imaginária +0{,}5964875421\\ \Omega indica reatância indutiva líquida (porque é positiva, o indutor domina sobre o capacitor nessa frequência).
  • Magnitude (módulo) da impedância:
|Z|=\sqrt{1^2 + 0{,}5964875421^2}\approx 1{,}1646\\ \Omega.
  • Fase (ângulo) da impedância:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{0{,}5964875421}{1}\right)\approx 0{,}536\\ \text{rad}\approx 30{,}73^\circ.
Esses valores ajudam a entender como a corrente se defasará em relação à tensão: aqui a corrente atrasa (ângulo positivo indica tensão à frente da corrente em circuitos indutivos).

Resposta

Z=1 + j\,0{,}5964875421\\ \Omega

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