Questão 2 (1 ponto):Utilize o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal para o subespaço S= [(1,-1,0,2),(-1,0,-2,1),(0,0,0,1)].

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^{4} que geram o subespaço S:
v_1=(1,-1,0,2),\qquad v_2=(-1,0,-2,1),\qquad v_3=(0,0,0,1).
O que se pede: utilizar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de S. Ou seja, encontrar vetores não nulos u_1,u_2,u_3 que sejam mutuamente ortogonais e que gerem o mesmo subespaço S.

Passo 2

Breve explicação do método e das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^4: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
  • Projeção ortogonal de v sobre um vetor u\neq 0:
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Gram–Schmidt (forma prática para três vetores): escolhe-se
u_1=v_1,
u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2),
u_3=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Se algum u_i ficar zero, isso significa dependência linear e esse vetor é descartado; caso contrário obtemos uma base ortogonal. Vou calcular cada projeção e subtração com cuidado.

Passo 3

Começando com u_1:
u_1=v_1=(1,-1,0,2).
Calcular \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+(-1)^2+0^2+2^2 = 1+1+0+4 = 6.

Passo 4

Calcular a projeção de v_2 sobre u_1.
Primeiro o produto interno \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = (-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot0 + 1\cdot2 = -1+0+0+2 = 1.
Logo
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{1}{6}\,u_1 = \frac{1}{6}(1,-1,0,2)=\Big(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},0,\tfrac{1}{3}\Big).

Passo 5

Agora u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2). Subtraindo componente a componente:
u_2 = (-1,0,-2,1) - \Big(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},0,\tfrac{1}{3}\Big) = \Big(-1-\tfrac{1}{6},\;0+\tfrac{1}{6},\;-2-0,\;1-\tfrac{1}{3}\Big).
Calculando:
u_2 = \Big(-\tfrac{7}{6},\;\tfrac{1}{6},\;-2,\;\tfrac{2}{3}\Big).
Para ficarmos com números inteiros (isso não altera a ortogonalidade), multiplicamos u_2 por 6 e definimos o vetor escalado
\tilde u_2 = 6u_2 = (-7,1,-12,4).
Observação importante: usar \tilde u_2 em projeções futuras é seguro porque a projeção é independente da escala do vetor projetor (a escala cancela).

Passo 6

Verificação rápida de ortogonalidade entre u_1 e \tilde u_2:
\langle u_1,\tilde u_2\rangle = 1\cdot(-7)+(-1)\cdot1+0\cdot(-12)+2\cdot4 = -7-1+0+8 = 0.
Perfeito: u_1 e \tilde u_2 são ortogonais.

Passo 7

Calcular projeções necessárias para v_3.
Primeiro \langle v_3,u_1\rangle com v_3=(0,0,0,1):
\langle v_3,u_1\rangle = 0\cdot1+0\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot2 = 2.
Então
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{2}{6}\,u_1=\frac{1}{3}\,u_1=\Big(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},0,\tfrac{2}{3}\Big).

Passo 8

Agora a projeção de v_3 sobre \tilde u_2.
Calcular \langle v_3,\tilde u_2\rangle:
\langle v_3,\tilde u_2\rangle = 0\cdot(-7)+0\cdot1+0\cdot(-12)+1\cdot4 = 4.
Calcular \langle \tilde u_2,\tilde u_2\rangle:
\langle \tilde u_2,\tilde u_2\rangle = (-7)^2+1^2+(-12)^2+4^2 = 49+1+144+16 = 210.
Logo
\operatorname{proj}_{\tilde u_2}(v_3)=\frac{4}{210}\,\tilde u_2=\frac{2}{105}\,\tilde u_2.
Escrevendo essa projeção componente a componente:
\operatorname{proj}_{\tilde u_2}(v_3) = \frac{2}{105}(-7,1,-12,4) = \Big(-\tfrac{2}{15},\;\tfrac{2}{105},\;-\tfrac{8}{35},\;\tfrac{8}{105}\Big).

Passo 9

Agora construímos
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{\tilde u_2}(v_3).
Primeiro v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3):
v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = (0,0,0,1) - \Big(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},0,\tfrac{2}{3}\Big) = \Big(-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3},\;0,\;\tfrac{1}{3}\Big).
Agora subtrai-se \operatorname{proj}_{\tilde u_2}(v_3):
u_3 = \Big(-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3},\;0,\;\tfrac{1}{3}\Big) - \Big(-\tfrac{2}{15},\;\tfrac{2}{105},\;-\tfrac{8}{35},\;\tfrac{8}{105}\Big).
Calculando coordenada a coordenada (com denominadores comuns quando preciso):
  1. Primeira coordenada:
-\tfrac{1}{3} - \left(-\tfrac{2}{15}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{15} = -\tfrac{5}{15}+\tfrac{2}{15} = -\tfrac{3}{15} = -\tfrac{1}{5}.
  1. Segunda coordenada:
\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{105} = \tfrac{35}{105}-\tfrac{2}{105} = \tfrac{33}{105} = \tfrac{11}{35}.
  1. Terceira coordenada:
0 - \left(-\tfrac{8}{35}\right) = \tfrac{8}{35}.
  1. Quarta coordenada:
\tfrac{1}{3} - \tfrac{8}{105} = \tfrac{35}{105}-\tfrac{8}{105} = \tfrac{27}{105} = \tfrac{9}{35}.
Portanto
u_3 = \Big(-\tfrac{1}{5},\;\tfrac{11}{35},\;\tfrac{8}{35},\;\tfrac{9}{35}\Big).

Passo 10

Para ficar com coordenadas inteiras, multiplicamos u_3 por 35 (novamente, escala não afeta ortogonalidade). Definimos
\tilde u_3 = 35 u_3 = (-7,11,8,9).

Passo 11

Verificações finais de ortogonalidade (cálculos rápidos para garantir que não houve erro):
  • \langle u_1,\tilde u_3\rangle = 1\cdot(-7)+(-1)\cdot11+0\cdot8+2\cdot9 = -7-11+0+18 = 0.
  • \langle \tilde u_2,\tilde u_3\rangle = (-7)\cdot(-7)+1\cdot11+(-12)\cdot8+4\cdot9 = 49+11-96+36 = 0.
Além disso, todos os vetores u_1,\tilde u_2,\tilde u_3 são não nulos (ver soma de quadrados > 0), logo formam uma base ortogonal de S. Observação final: qualquer conjunto obtido multiplicando cada vetor por escalar não nulo também é uma base ortogonal; aqui escolhi coordenadas inteiras para clareza.

Resposta

(1,-1,0,2)
(-7,1,-12,4)
(-7,11,8,9)

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