Questão 2 (1 ponto):Utilize o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal para o subespaço
.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
que geram o subespaço
:
O que se pede: utilizar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de
. Ou seja, encontrar vetores não nulos
que sejam mutuamente ortogonais e que gerem o mesmo subespaço
.
Passo 2
Breve explicação do método e das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
- Produto interno padrão em
: para e ,
- Projeção ortogonal de
sobre um vetor :
- Gram–Schmidt (forma prática para três vetores): escolhe-se
Se algum
ficar zero, isso significa dependência linear e esse vetor é descartado; caso contrário obtemos uma base ortogonal. Vou calcular cada projeção e subtração com cuidado.
Passo 3
Começando com
:
Calcular
:
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
.
Primeiro o produto interno :
Primeiro o produto interno
Logo
Passo 5
Agora
. Subtraindo componente a componente:
Calculando:
Para ficarmos com números inteiros (isso não altera a ortogonalidade), multiplicamos
por
e definimos o vetor escalado
Observação importante: usar
em projeções futuras é seguro porque a projeção é independente da escala do vetor projetor (a escala cancela).
Passo 6
Verificação rápida de ortogonalidade entre
e
:
Perfeito:
e
são ortogonais.
Passo 7
Calcular projeções necessárias para
.
Primeiro com
:
Primeiro
Então
Passo 8
Agora a projeção de
sobre
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Logo
Escrevendo essa projeção componente a componente:
Passo 9
Agora construímos
Primeiro
:
Agora subtrai-se
:
Calculando coordenada a coordenada (com denominadores comuns quando preciso):
- Primeira coordenada:
- Segunda coordenada:
- Terceira coordenada:
- Quarta coordenada:
Portanto
Passo 10
Para ficar com coordenadas inteiras, multiplicamos
por
(novamente, escala não afeta ortogonalidade). Definimos
Passo 11
Verificações finais de ortogonalidade (cálculos rápidos para garantir que não houve erro):
Além disso, todos os vetores
são não nulos (ver soma de quadrados > 0), logo formam uma base ortogonal de
. Observação final: qualquer conjunto obtido multiplicando cada vetor por escalar não nulo também é uma base ortogonal; aqui escolhi coordenadas inteiras para clareza.