Questão 1 (3 pontos): Em cada item, considere o operador linear T de \mathbb{R}^{3}, cuja matriz em relação à base canônica é a matriz A. Determine, se possivel, uma base formada por autovetores de T e a matriz diagonalizada do operador.
b) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base canônica e pede: determinar, se possível, uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T e a matriz diagonalizada do operador. A matriz fornecida é
É possível encontrar três autovetores linearmente independentes que formem uma base de \mathbb{R}^3?
Se sim, apresentar uma base formada por autovetores e a matriz diagonal D correspondente (i.e. tal que P^{-1}AP=D para P cujas colunas são esses autovetores).]
Passo 2
Definição e estratégia (aula rápida e prática). Um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
A v = \lambda v.
Os \lambda possíveis são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I). Passos práticos:
Calcular \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Encontrar as raízes (\lambda) e suas multiplicidades algébricas.
Para cada \lambda resolver (A-\lambda I)v=0 para achar a(s) direção(ões) dos autovetores (e a multiplicidade geométrica).
A é diagonalizável se existir um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes (equivalente: soma das multiplicidades geométricas = 3).
Vamos executar.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
Base de autovetores: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}\right\}