Questão 4 (2,0 pontos)
Uma caixa de base quadrada deve ser construída de modo que a soma de sua altura com o perímetro de sua base seja igual a 150 cm . Quais as dimensões da caixa de maior volume que atende às restrições de construção?
Passo 1
O enunciado nos fala de uma caixa com base quadrada de lado
e altura
, sujeita à condição
e pede as dimensões que maximizam o volume
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando derivadas.
Passo 2
Como a base é quadrada de lado
, o perímetro vale
. Logo a restrição é
e a partir daí isolamos
Passo 3
Substituindo na expressão do volume, obtemos uma função de
só:
O domínio viável é
e
, isto é
.
Passo 4
Para achar extremos, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
, o que dá
ou
. Descartamos
, pois não gera volume.
Passo 5
Usando o teste da segunda derivada,
em
fica
, confirmando um máximo. A altura correspondente é
Resposta
A caixa de maior volume tem base quadrada de lado
e altura
.