Questão 4 (2,0 pontos)

Uma caixa de base quadrada deve ser construída de modo que a soma de sua altura com o perímetro de sua base seja igual a 150 cm . Quais as dimensões da caixa de maior volume que atende às restrições de construção?

Passo 1

O enunciado nos fala de uma caixa com base quadrada de lado x e altura h, sujeita à condição
h + perímetro da base = 150 cm, í
e pede as dimensões que maximizam o volume
V = x^2,h
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável usando derivadas.

Passo 2

Como a base é quadrada de lado x, o perímetro vale 4x. Logo a restrição é
h + 4x = 150
e a partir daí isolamos
h = 150 - 4x

Passo 3

Substituindo na expressão do volume, obtemos uma função de x só:
V(x) = x^2,(150 - 4x) = 150x^2 - 4x^3
O domínio viável é x>0 e h>0, isto é 0 < x < 37,5.

Passo 4

Para achar extremos, calculamos a derivada
V'(x) = ddx(150x^2 - 4x^3) = 300x - 12x^2 = 12x(25 - x),
e igualamos a zero: 12x(25 - x)=0, o que dá x=0 ou x=25. Descartamos x=0, pois não gera volume.

Passo 5

Usando o teste da segunda derivada,
V''(x) = 300 - 24x,
em x=25 fica V''(25)=300-600=-300<0, confirmando um máximo. A altura correspondente é
h = 150 - 4cdot25 = 50 cm

Resposta

A caixa de maior volume tem base quadrada de lado 25 cm e altura 50 cm.

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