Calcule a integral dupla da função indicada no retângulo Q dado.
f(x, y)=y^-3 e^t xy, Q=[1, t] times[1, t], sendo t>1.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
integral duplaQy^-3e^t,xy,dx,dy
sobre Q=[1,t]times[1,t], com t>1. Vamos usar integrais iteradas e, em seguida, mudança de variável em cada integral.

Passo 2

Escrevemos
integral duplaQy^-3e^t,xy,dx,dy =integraly=1^tl[integralx=1^ty^-3e^t,xy,dxr]dy
Integramos primeiro em x. Como
integral e^t,xy,dx =yte^t,xy,
temos
integral1^te^t,xy,dx =ytl(e^t^2y-e^tyr)
Multiplicando por y^-3 fica
1t,y^-2l(e^t^2y-e^tyr)

Passo 3

A integral dupla reduz-se a
1tintegral1^ty^-2l(e^tfract^2y-e^tfractyr),dy =1tl(I1-I2r),
onde
I1=integral1^ty^-2e^t^2y,dy, I2=integral1^ty^-2e^ty,dy
Para I1, faça u=tfract^2y, logo du=-tfract^2y^2dy, e obtemos
I1 =1t^2l(e^t^2-e^tr)
Para I2, faça v=tfracty, logo dv=-tfracty^2dy, e obtemos
I2 =1tl(e^t-er)

Passo 4

Substituindo em 1t(I1-I2) resulta
1tl(1t^2(e^t^2-e^t)-1t(e^t-e)r) =1t^3l(e^t^2-e^tr) -1t^2l(e^t-er)

Resposta

1t^3l(e^t^2-e^tr) -1t^2l(e^t-er)

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