Questão 1 (3,0 pontos) Um capacitor esférico de raio interno R_{1} e raio externo R_{2} tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por uma camada concêntrica de material dielétrico com constante dielétrica \kappa_{1}. Nestas condições, pede-se: a) a capacitância deste capacitor. b) O que deve acontecer se a constante dielétrica é \kappa_{1}=1, isto é, tem-se o capacitor preenchido com o ar? c) Se a casca esférica (placa externa) está suficientemente afastada \left(R_{2} \gg R_{1}\right), qual deve ser a capacitância?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas de raios R_{1} e R_{2}, com o espaço entre elas completamente preenchido por um dielétrico de constante \kappa_{1}. O objetivo é (a) calcular a capacitância C, (b) ver o que ocorre quando \kappa_{1}=1 (ar) e (c) obter a forma de C no limite R_{2}\gg R_{1}. Para isso usaremos a Lei de Gauss em meios dielétricos e a definição de capacitância C=Q/\Delta V.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Gauss ao campo de indução elétrica \mathbf{D} em uma superfície esférica de raio r com R_{1}<r<R_{2}:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre}}
Como \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,\mathbf{E} e a simetria esférica dá D(r)\,4\pi r^{2}=Q, segue
D(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{D(r)}{\varepsilon_{0}\kappa_{1}} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,r^{2}}.

Passo 3

A diferença de potencial entre as cascas é
\Delta V =\int_{R_{1}}^{R_{2}}E(r)\,dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}} \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr).

Passo 4

Pela definição C=Q/\Delta V, obtemos
C =\frac{Q}{\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}}\bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\bigr)} =4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}.

Passo 5

Para \kappa_{1}=1, o dielétrico é equivalente ao ar (ou vácuo), de modo que
C =4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}},
que é exatamente a capacitância do capacitor esférico no caso sem dielétrico.

Passo 6

No limite R_{2}\gg R_{1} temos R_{2}-R_{1}\approx R_{2} e
\frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}\approx R_{1},
logo
C\approx 4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,R_{1}.

Resposta

(a) C = 4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}
(b) Para \kappa_{1}=1, C = 4\pi\varepsilon_{0}\,\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}} (caso ar/vácuo)
(c) Se R_{2}\gg R_{1}, C \approx 4\pi\varepsilon_{0}\kappa_{1}\,R_{1}

Exercícios relacionados