Questão 1 (3,0 pontos) Um capacitor esférico de raio interno
e raio externo
tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por uma camada concêntrica de material dielétrico com constante dielétrica
. Nestas condições, pede-se: a) a capacitância deste capacitor. b) O que deve acontecer se a constante dielétrica é
, isto é, tem-se o capacitor preenchido com o ar? c) Se a casca esférica (placa externa) está suficientemente afastada
, qual deve ser a capacitância?
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas de raios
e
, com o espaço entre elas completamente preenchido por um dielétrico de constante
. O objetivo é (a) calcular a capacitância
, (b) ver o que ocorre quando
(ar) e (c) obter a forma de
no limite
. Para isso usaremos a Lei de Gauss em meios dielétricos e a definição de capacitância
.
Passo 2
Aplicamos a Lei de Gauss ao campo de indução elétrica
em uma superfície esférica de raio
com
:
Como
e a simetria esférica dá
, segue
Passo 3
A diferença de potencial entre as cascas é
Passo 4
Pela definição
, obtemos
Passo 5
Para
, o dielétrico é equivalente ao ar (ou vácuo), de modo que
que é exatamente a capacitância do capacitor esférico no caso sem dielétrico.
Passo 6
No limite
temos
e
logo
Resposta
(a)
(b) Para ,
(caso ar/vácuo)
(c) Se ,
(b) Para
(c) Se