Questão 3 ( 2,0 pontos) Considere um circuito com um capacitor de capacitância C ligado em série com um resistor R e uma fonte de tensão contínua \xi. Discuta o processo de carga do capacito, destacando a constante de tempo e seu significado.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC formado por um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e uma fonte de tensão contínua de valor \xi. O conteúdo que vamos usar é a análise de circuitos de primeira ordem no regime transitório, aplicando a lei de Kirchhoff de tensões e resolvendo a equação diferencial para a carga do capacitor.

Passo 2

Aplique a Lei de Kirchhoff de Tensões ao circuito série. Se definirmos i(t) como a corrente que circula e v_C(t) como a tensão no capacitor, temos
\xi - v_R(t) - v_C(t) = 0.
Como v_R(t)=R\,i(t) e i(t)=\frac{d q(t)}{d t} com q(t)=C\,v_C(t), substituímos para obter a equação diferencial em v_C(t):
\xi - R\,C\,\frac{d v_C(t)}{d t} - v_C(t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad R\,C\,\frac{d v_C(t)}{d t} + v_C(t) = \xi.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial v_C(0)=0 (capacitor descarregado), encontramos
v_C(t) = \xi\Bigl(1 - e^{-t/(R\,C)}\Bigr).
A corrente no circuito é
i(t) = C\,\frac{d v_C}{d t} = \frac{\xi}{R}\,e^{-t/(R\,C)}.

Passo 4

Definimos a constante de tempo
\tau = R\,C.
Matematicamente, \tau é o parâmetro que aparece no expo­nal, de forma que em t=\tau temos
v_C(\tau)=\xi\bigl(1 - e^{-1}\bigr)\approx 0{,}632\,\xi \quad\text{e}\quad i(\tau)=\frac{\xi}{R}\,e^{-1}\approx 0{,}368\,\frac{\xi}{R}.

Passo 5

Fisicamente, \tau indica o tempo característico para o capacitor atingir cerca de 63,2\% da tensão final \xi. Após
t=3\tau,
v_C já alcança cerca de 95\% de \xi, e após
t=5\tau,
ultrapassa 99\%. Assim, \tau também dá a escala de tempo para o circuito entrar em regime permanente.

Resposta

O processo de carga do capacitor é descrito por
v_C(t)=\xi\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr), \quad i(t)=\frac{\xi}{R}\,e^{-t/\tau},
com constante de tempo \tau=R\,C. A constante \tau mede o tempo para o circuito chegar a 63,2 % da tensão final e define a escala de tempo do regime transitório.

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