Questão 3

( 3,5 pontos)
Uma carga conectada em triângulo equilibrada é alimentada por uma fonte trifásica de 60 Hz com tensão de linha igual a 220 V . Cada fase da carga absorve 8 kW com fator de potência igual a 0,6 (atrasado). Determine:
(a) A impedância de carga por fase.
(b) A corrente de linha.

Passo 1

O enunciado dá uma carga equilibrada conectada em triângulo (delta) alimentada por uma fonte trifásica de 60\\ \mathrm{Hz} com tensão de linha V_{L}=220\\ \mathrm{V}. Cada fase (cada ramo do triângulo) absorve potência ativa P_{\text{fase}}=8{,}0\\ \mathrm{kW} com fator de potência \text{pf}=0{,}6 (atrasado, ou seja, indutivo).
As perguntas são duas e devem ser respondidas separadamente:
(a) Determinar a impedância da carga por fase (ou seja, a impedância de cada ramo do triângulo).
(b) Determinar a corrente de linha (módulo e, se possível, argumento/fasor).
Informações relevantes listadas:
  • V_{L}=220\\ \mathrm{V} (tensão de linha, que em triângulo é igual à tensão em cada fase do ramo).
  • P_{\text{fase}}=8{,}0\\ \mathrm{kW}=8000\\ \mathrm{W}.
  • \text{pf}=\cos\varphi=0{,}6 (atrasado → carga indutiva → reatância positiva X>0).
  • Sistema equilibrado e ligação em triângulo (delta): tensão por fase sobre cada impedância é V_{\text{fase}}=V_{L}=220\\ \mathrm{V}.
Não vou resolver nada aqui ainda; apenas identifiquei o que foi dado e o que pedem.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (mini-aula prática e direta, passo a passo):
  1. Potência complexa por fase: S_{\text{fase}} = P_{\text{fase}} + jQ_{\text{fase}}, onde P_{\text{fase}} é a potência ativa por fase e Q_{\text{fase}} a reativa por fase.
  • O módulo da potência aparente é |S_{\text{fase}}| = \dfrac{P_{\text{fase}}}{\text{pf}}.
  • O ângulo da potência (ou do fator de potência) é \varphi = \operatorname{arccos}(\text{pf}). Como a carga é indutiva, Q_{\text{fase}}>0 e S tem argumento +\varphi.
  1. Relação entre potência e corrente/impedância em uma fase:
  • Em geral, S_{\text{fase}} = V_{\text{fase}}\, I_{\text{fase}}^{*}. (Aqui I^{*} é o conjugado do fasor corrente.)
  • Daí I_{\text{fase}} = \dfrac{S_{\text{fase}}^{*}}{V_{\text{fase}}}.
  • E a impedância da fase é Z_{\text{fase}} = \dfrac{V_{\text{fase}}}{I_{\text{fase}}} = \dfrac{V_{\text{fase}}^{2}}{S_{\text{fase}}^{*}}.
  1. Relação corrente de linha × corrente de fase para triângulo (delta):
  • Em ligação em triângulo a corrente na ramificação (corrente de fase do ramo) é I_{\text{fase}} e a corrente de linha I_{L} tem módulo |I_{L}|=\sqrt{3}\,|I_{\text{fase}}|.
  • O ângulo do corrente de linha, em relação ao ângulo de I_{\text{fase}}, é obtido por um fator \sqrt{3}\angle 30^\circ que aparece em \;I_{L}= \sqrt{3}\,I_{\text{fase}}\angle 30^\circ. Vou demonstrar isso passo a passo quando calcular I_{L}.
Agora, com essas fórmulas, a gente parte para os cálculos numéricos.

Passo 3

Calcular a potência aparente por fase e o ângulo \varphi.
Dado \;P_{\text{fase}}=8000\\ \mathrm{W} e \text{pf}=0{,}6, temos
|S_{\text{fase}}| = \frac{P_{\text{fase}}}{\text{pf}} = \frac{8000}{0{,}6} = \frac{40000}{3}\\ \mathrm{VA}\approx 13333{,}33\\ \mathrm{VA}.
O ângulo entre potência ativa e aparente (ângulo da potência) é
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}6).
Calculemos \varphi: como \cos\varphi=0{,}6, temos \sin\varphi=\sqrt{1-0{,}6^{2}}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8. Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}6)\approx 53{,}13^\circ.
Como a carga é atrasada (indutiva), o componente reativo é positivo e podemos escrever a potência complexa por fase como
S_{\text{fase}} = P_{\text{fase}} + jQ_{\text{fase}} = 8000 + jQ_{\text{fase}}.
E Q_{\text{fase}} = P_{\text{fase}}\tan\varphi = 8000\cdot\tan(53{,}13^\circ). Como \tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\tfrac{4}{3}, então
Q_{\text{fase}} = 8000\cdot\frac{4}{3} = \frac{32000}{3}\\ \mathrm{VAR}\approx 10666{,}67\\ \mathrm{VAR}.

Passo 4

Calcular a impedância de carga por fase usando a fórmula explícita e explicar o porquê.
Para cada ramo do triângulo a tensão que aparece é V_{\text{fase}}=V_{L}=220\\ \mathrm{V}. Usando a relação entre potência complexa e impedância,
Z_{\text{fase}} = \frac{V_{\text{fase}}^{2}}{S_{\text{fase}}^{*}}.
Aqui S_{\text{fase}}^{*}=P_{\text{fase}} - jQ_{\text{fase}} (conjugado), porque S_{\text{fase}}=P+jQ. Isso dá uma impedância complexa com ângulo igual a +\varphi (indutiva).
Mas uma forma prática, muito usada na prova, é achar o módulo e o ângulo separadamente:
|Z_{\text{fase}}| = \frac{V_{\text{fase}}^{2}}{|S_{\text{fase}}|} \quad\text{e}\quad \angle Z_{\text{fase}} = \varphi
(ângulo positivo porque a carga é indutiva).
Computando o módulo:
|Z_{\text{fase}}| = \frac{220^{2}}{|S_{\text{fase}}|} = \frac{48400}{40000/3} = \frac{48400\cdot 3}{40000} = \frac{145200}{40000}=3{,}63\\ \Omega.
O ângulo já calculado é \varphi\approx 53{,}13^\circ. Portanto em forma polar
Z_{\text{fase}} = 3{,}63\angle 53{,}13^\circ\\ \Omega.
Queremos também a forma retangular (muito útil na prática):
R = |Z|\cos\varphi = 3{,}63\cdot 0{,}6 = 2{,}178\\ \Omega,
X = |Z|\sin\varphi = 3{,}63\cdot 0{,}8 = 2{,}904\\ \Omega.
Logo
Z_{\text{fase}} = 2{,}178 + j\,2{,}904\\ \Omega.
Explicação curta de interpretação: R é a parte dissipativa (calor), X é a parte reativa (indutiva) — em prova você pode apresentar qualquer das formas (polar ou retangular) desde que informe que é indutiva.

Passo 5

Calcular a corrente na ramificação (corrente de fase) e verificar com potência.
Usando S_{\text{fase}} = V_{\text{fase}} I_{\text{fase}}^{*}, o módulo da corrente de fase é
|I_{\text{fase}}| = \frac{|S_{\text{fase}}|}{V_{\text{fase}}} = \frac{40000/3}{220} = \frac{40000}{660} = \frac{2000}{33}\\ \mathrm{A}\approx 60{,}61\\ \mathrm{A}.
O ângulo da corrente de fase (escolhendo a tensão V_{\text{fase}} como referência de ângulo zero) é -\varphi porque a corrente em carga indutiva atrasa o ângulo negativo em relação à tensão (recorda: I_{\text{fase}} = S^{*}/V). Assim
I_{\text{fase}} = 60{,}61\angle -53{,}13^\circ\\ \mathrm{A}.
Verificação rápida: P_{\text{fase}} = V_{\text{fase}}\cdot |I_{\text{fase}}|\cdot\text{pf} = 220\cdot 60{,}61\cdot 0{,}6 \approx 8000\\ \mathrm{W}. Ok.

Passo 6

Derivar e calcular a corrente de linha a partir da corrente de fase (ligação em triângulo), com demonstração do fator \sqrt{3}\angle 30^\circ.
Em triângulo a corrente de linha I_{A} (no terminal A) é a soma (diferença de sinais) das correntes dos dois ramos que saem/entram em A. Usando notação simétrica e fasores para um sistema equilibrado, obtém-se (passo a passo):
I_{A} = I_{AB} - I_{CA}.
Se todas as correntes de ramo têm o mesmo módulo |I_{\text{fase}}| e ângulo -\varphi (mas defasadas entre si de 120^\circ), podemos escrever
I_{AB} = I_{\text{fase}}\angle(-\varphi),\qquad I_{CA} = I_{\text{fase}}\angle(-\varphi-120^\circ).
Logo
I_{A} = I_{\text{fase}}\angle(-\varphi)\left[1 - e^{-j120^\circ}\right].
Calculemos o fator entre colchetes: \;1 - e^{-j120^\circ} = 1 - \left(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}. O módulo disso é \sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3} e o ângulo é \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}/2}{3/2}\right)=30^\circ. Portanto
1 - e^{-j120^\circ} = \sqrt{3}\angle 30^\circ.
Assim obtemos a relação clássica
I_{L} \equiv I_{A} = \sqrt{3}\,I_{\text{fase}}\angle 30^\circ,
ou, em termos de ângulos explicitando o ângulo de I_{\text{fase}}:
I_{L} = \sqrt{3}\,|I_{\text{fase}}|\angle(30^\circ - \varphi).
Isso explica por que a corrente de linha tem módulo \sqrt{3} vezes o da corrente de fase e tem deslocamento angular de +30^\circ em relação à corrente de fase.
Agora aplicamos numericamente: |I_{\text{fase}}|=60{,}61\\ \mathrm{A} e \varphi=53{,}13^\circ. Então
|I_{L}| = \sqrt{3}\cdot 60{,}61 \approx 1{,}73205\cdot 60{,}61 \approx 105{,}00\\ \mathrm{A}.
O ângulo da corrente de linha é
\angle I_{L} = 30^\circ - \varphi = 30^\circ - 53{,}13^\circ = -23{,}13^\circ.
Portanto o fasor da corrente de linha (tomando a tensão de referência apropriada) é
I_{L} \approx 105{,}0\angle -23{,}13^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Pequena verificação e comentário prático (para prova):
  • Magnitude da impedância dá uma corrente de fase compatível com a potência dada: I_{\text{fase}}=220/|Z|=220/3{,}63\approx60{,}61\\ \mathrm{A}, e isso junto com \text{pf}=0{,}6 produz P_{\text{fase}}=8000\\ \mathrm{W}. Tudo consistente.
  • Em provas, se pedirem só módulo da corrente de linha, entregue 105\\ \mathrm{A}. Se pedirem o fasor, entregue 105\angle -23{,}13^\circ\\ \mathrm{A}.
Força aí — a parte de transformar potência em impedância e ligar fase/linha em triângulo é receita de bolo: 1) achar |S| e \varphi; 2) usar Z=V^{2}/S^{*} (ou |Z|=V^{2}/|S| e ângulo =\varphi); 3) obter correntes por I=|S|/V e aplicar fator \sqrt{3} para corrente de linha no delta.

Resposta

(a) Z_{\text{fase}} = 2{,}178 + j\,2{,}904\\ \Omega = 3{,}63\angle 53{,}13^\circ\\ \Omega\n(b) I_{\text{linha}} = 105{,}0\angle -23{,}13^\circ\\ \mathrm{A}

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