3 Um capacitor, de placas paralelas quadradas de lado
, é carregado por uma corrente constante
. Despresando efeitos de borda, encontre a expressão literal para o campo magnético dentro do capacitor até uma distância
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a expressão literal para o campo magnético dentro de um capacitor de placas paralelas quadradas (lado
) carregado por uma corrente constante
, desprezando efeitos de borda, válida até uma distância
a partir do centro. Informação dada e objetivo listado de forma clara:
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): quando o capacitor está sendo carregado, o campo elétrico entre as placas varia no tempo. Maxwell corrigiu a Lei de Ampère incluindo uma contribuição chamada corrente de deslocamento, que permite que um campo magnético seja produzido mesmo onde não há corrente de condução. A forma integral da Lei de Ampère–Maxwell é:
Expliquei cada termo:
-
é a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado (o “loop” ampereano). -
é a corrente de condução atravessando qualquer superfície que tenha esse loop como contorno. -
é o fluxo elétrico através dessa superfície: . -
é a corrente de deslocamento (unidades de corrente), que substitui a ausência de corrente de condução entre as placas.
Passo 3
Escolha do loop e simetria (por que escolher isso?): vamos usar um caminho circular de raio
centrado no eixo do capacitor (o eixo perpendicular às placas, passando pelo centro). Razões:
- Para
o círculo cabe inteiramente dentro da área da placa quadrada (ou seja, a área do laço está totalmente sobre a região entre placas onde é uniforme se desprezarmos bordas). - Pela simetria (campo elétrico praticamente uniforme e carregamento uniforme), o campo magnético dentro do capacitor será tangencial ao círculo e de módulo constante sobre o caminho escolhido. Então podemos escrever
onde
é o módulo do campo magnético no círculo de raio
.
Passo 4
Calcular o fluxo elétrico
através do disco de raio
e sua derivada temporal: como desprezamos efeitos de borda, o campo elétrico entre as placas é praticamente uniforme e perpendicular às placas. O fluxo elétrico através da área circular de raio
é
Agora precisamos de
. Relacionamos
à carga
das placas: para placas grandes e paralelas
onde
é a área da placa e
é a densidade superficial de carga. Diferenciando,
Mas
é exatamente a corrente que está carregando o capacitor, ou seja
(corrente constante dada). Assim
Então
Multiplicando por
para obter a corrente de deslocamento:
Observação sobre
: como as placas são quadradas de lado
, temos
.
Passo 5
Aplicar a Lei de Ampère–Maxwell ao loop escolhido: entre as placas não atravessa corrente de condução, então
. Substituindo na lei:
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
obtemos a expressão final:
Passo 6
Interpretação física rápida e checagem: a expressão mostra que
(no centro o campo é nulo) e que
cresce linearmente com
dentro da região onde o laço está totalmente contido na placa. Isso faz sentido: a corrente de deslocamento atravessando um disco de raio
é proporcional à sua área
, e ao dividir pela circulação
obtemos um
remanescente. A direção do campo é tangencial ao círculo (direção azimutal), com sentido dado pela regra da mão direita associada à corrente que carrega o capacitor.