3 Um capacitor, de placas paralelas quadradas de lado L=1,00 \mathrm{~cm}, é carregado por uma corrente constante l=4,27 \mathrm{~A}. Despresando efeitos de borda, encontre a expressão literal para o campo magnético dentro do capacitor até uma distância r=\frac{L}{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a expressão literal para o campo magnético dentro de um capacitor de placas paralelas quadradas (lado L=1{,}00\\ \mathrm{cm}) carregado por uma corrente constante I=4{,}27\\ \mathrm{A}, desprezando efeitos de borda, válida até uma distância r=\dfrac{L}{2} a partir do centro. Informação dada e objetivo listado de forma clara:
L=1{,}00\\ \mathrm{cm},\qquad I=4{,}27\\ \mathrm{A},\qquad \text{achar } \mathbf{B}(r)\\ \text{para }0\le r\le \frac{L}{2}.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): quando o capacitor está sendo carregado, o campo elétrico entre as placas varia no tempo. Maxwell corrigiu a Lei de Ampère incluindo uma contribuição chamada corrente de deslocamento, que permite que um campo magnético seja produzido mesmo onde não há corrente de condução. A forma integral da Lei de Ampère–Maxwell é:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\left(I_{\text{cond,enc}}+\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}\right).
Expliquei cada termo:
  • \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} é a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado (o “loop” ampereano).
  • I_{\text{cond,enc}} é a corrente de condução atravessando qualquer superfície que tenha esse loop como contorno.
  • \Phi_{E} é o fluxo elétrico através dessa superfície: \Phi_{E}=\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  • \varepsilon_{0}\,\dfrac{d\Phi_{E}}{dt} é a corrente de deslocamento (unidades de corrente), que substitui a ausência de corrente de condução entre as placas.

Passo 3

Escolha do loop e simetria (por que escolher isso?): vamos usar um caminho circular de raio r centrado no eixo do capacitor (o eixo perpendicular às placas, passando pelo centro). Razões:
  • Para r\le L/2 o círculo cabe inteiramente dentro da área da placa quadrada (ou seja, a área do laço está totalmente sobre a região entre placas onde \mathbf{E} é uniforme se desprezarmos bordas).
  • Pela simetria (campo elétrico praticamente uniforme e carregamento uniforme), o campo magnético dentro do capacitor será tangencial ao círculo e de módulo constante sobre o caminho escolhido. Então podemos escrever
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B( r)\, (2\pi r),
onde B(r) é o módulo do campo magnético no círculo de raio r.

Passo 4

Calcular o fluxo elétrico \Phi_{E} através do disco de raio r e sua derivada temporal: como desprezamos efeitos de borda, o campo elétrico entre as placas é praticamente uniforme e perpendicular às placas. O fluxo elétrico através da área circular de raio r é
\Phi_{E}=E(t)\cdot (\text{área do disco})=E(t)\,(\pi r^{2}).á
Agora precisamos de \dfrac{d\Phi_{E}}{dt}. Relacionamos E à carga Q das placas: para placas grandes e paralelas
E(t)=\frac{\sigma(t)}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q(t)}{\varepsilon_{0}A},
onde A é a área da placa e \sigma é a densidade superficial de carga. Diferenciando,
\frac{dE}{dt}=\frac{1}{\varepsilon_{0}A}\,\frac{dQ}{dt}.
Mas \dfrac{dQ}{dt} é exatamente a corrente que está carregando o capacitor, ou seja \dfrac{dQ}{dt}=I (corrente constante dada). Assim
\frac{dE}{dt}=\frac{I}{\varepsilon_{0}A}.
Então
\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\pi r^{2}\,\frac{dE}{dt}=\pi r^{2}\,\frac{I}{\varepsilon_{0}A}.
Multiplicando por \varepsilon_{0} para obter a corrente de deslocamento:
\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\varepsilon_{0}\cdot\pi r^{2}\,\frac{I}{\varepsilon_{0}A}=\frac{\pi r^{2}}{A}\,I.
Observação sobre A: como as placas são quadradas de lado L, temos A=L^{2}.

Passo 5

Aplicar a Lei de Ampère–Maxwell ao loop escolhido: entre as placas não atravessa corrente de condução, então I_{\text{cond,enc}}=0. Substituindo na lei:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\left(0+\varepsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}\right)=\mu_{0}\,\frac{\pi r^{2}}{A}\,I.
Agora isolamos B(r). Dividindo ambos os lados por 2\pi r:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,\pi r^{2}\,I}{2\pi r\,A}=\frac{\mu_{0}\,I\,r}{2A}.
Substituindo A=L^{2} obtemos a expressão final:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I\,r}{2L^{2}}\qquad\text{para }0\le r\le \frac{L}{2}.

Passo 6

Interpretação física rápida e checagem: a expressão mostra que B(0)=0 (no centro o campo é nulo) e que B cresce linearmente com r dentro da região onde o laço está totalmente contido na placa. Isso faz sentido: a corrente de deslocamento atravessando um disco de raio r é proporcional à sua área \pi r^{2}, e ao dividir pela circulação 2\pi r obtemos um r remanescente. A direção do campo é tangencial ao círculo (direção azimutal), com sentido dado pela regra da mão direita associada à corrente que carrega o capacitor.

Resposta

\displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0}\,I\,r}{2L^{2}}\quad\text{para }0\le r\le \dfrac{L}{2}

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