Um solenóide longo, de comprimento 0,103 m e de raio 1,00 \mathrm{~cm} possui 219 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma \mathrm{I}(\mathrm{t})=\mathrm{at}, onde a 6 uma constante que vale 1,17 \mathrm{~A} / \mathrm{s}.
(a) Calcule a indutāncia do solenóide, considerando este como ideal.
(b) Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância \mathrm{r}=0,475 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao cixo que corta o solenóide ao meio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a indutância do solenóide (tratado como ideal) e (b) a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância r=0,475\\ \mathrm{cm} do eixo, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com unidades já em SI quando for o caso):
\;l=0,103\\ \mathrm{m} (comprimento do solenóide)
\;R=1,00\\ \mathrm{cm}=0,0100\\ \mathrm{m} (raio do solenóide)
\;N=219 (número total de espiras)
\;I(t)=a\,t com a=1,17\\ \mathrm{A/s} (taxa de variação da corrente)
\;r=0,475\\ \mathrm{cm}=0,00475\\ \mathrm{m} (distância do eixo onde queremos \mathbf{E})
Constante física que usaremos: permeabilidade do vácuo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 2

Vamos calcular a indutância do solenóide. Primeira ideia: para um solenóide longo e ideal a indutância total L é dada por
L=\mu_0\frac{N^2}{l}A,
onde A é a área da secção transversal do solenóide.
Vou explicar o porquê dessa fórmula de forma bem direta: cada espira enxerga um fluxo magnético devido ao campo B produzido por todas as outras espiras. Para um solenóide longo o campo dentro é praticamente uniforme e vale B=\mu_0 n I, com n=N/l (número de espiras por unidade de comprimento). O fluxo por espira é \Phi=B A; como B é proporcional a I, podemos escrever \Phi=L I /N por definição e, reorganizando, obtemos a fórmula acima que expressa L em termos de N,l,A,\mu_0. Aqui cada símbolo significa: \mu_0 (permeabilidade do vácuo), N (número total de espiras), l (comprimento do solenóide), A (área da seção transverse, A=\pi R^2).

Passo 3

Calculemos a área A da secção transversal (círculo de raio R):
A=\pi R^2=\pi(0,0100\\ \mathrm{m})^2=\pi\cdot 1{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Numérico:
A=\pi\times 1{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 \approx 3{,}14159265\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula da indutância:
L=\mu_0\frac{N^2}{l}A.
Vou calcular passo a passo os fatores numéricos. Primeiro N^2:
N^2=219^2=47961.

Passo 5

Calcule o produto \mu_0 N^2 A. Usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e A do passo anterior:
\mu_0 A = (4\pi\times10^{-7})\times(\pi\times 1{,}00\times 10^{-4}) =4\pi^2\times 10^{-11}\\ \mathrm{H\cdot m}.
Multiplicando por N^2:
\mu_0 N^2 A = 47961\times 4\pi^2\times 10^{-11}.
Para obter um valor numérico aproximado, calculemos \pi^2\approx 9{,}8696044. Então
\mu_0 N^2 A \approx 47961\times 4\times 9{,}8696044\times 10^{-11}.
Faça a multiplicação interna: 47961\times 4=191844 e 191844\times 9{,}8696044\approx 1{,}8934244\times 10^{6}. Assim
\mu_0 N^2 A \approx 1{,}8934244\times 10^{6}\times 10^{-11}=1{,}8934244\times 10^{-5}\\ \mathrm{H\cdot m}.

Passo 6

Divida pelo comprimento l para obter L:
L=\frac{\mu_0 N^2 A}{l}=\frac{1{,}8934244\times 10^{-5}}{0{,}103}\\ \mathrm{H}.
Efetuando a divisão:
L\approx 1{,}838276\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}.
Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados):
L\approx 1{,}84\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}.
Observação rápida: em unidades práticas isso equivale a cerca de 184\\ \mu\mathrm{H} (pois 1{,}84\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=184\times10^{-6}\\ \mathrm{H}).

Passo 7

Agora vamos ao item (b): campo elétrico induzido a uma distância r=0,00475\\ \mathrm{m} do eixo, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio. A lei básica a usar é a Lei de Faraday na forma integral:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície limitada pela curva \mathcal{C}.

Passo 8

Escolha de simetria e caminho de integração: dentro de um solenóide longo o campo magnético é axial e praticamente uniforme no interior. Para um ponto a distância r<R do eixo, pela simetria o campo elétrico induzido \mathbf{E} é tangencial (circunferencial) e depende apenas de r. Então escolhemos \mathcal{C} como um círculo de raio r centrado no eixo. Neste caso
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(2\pi r),
onde E é a magnitude do componente tangencial de \mathbf{E} no raio r.

Passo 9

Calcule o fluxo magnético \Phi_B pela área interna ao caminho (círculo de raio r). O campo magnético dentro do solenóide é
B(t)=\mu_0 n I(t)=\mu_0\frac{N}{l}I(t).
A área cortada pela curva é A_r=\pi r^2. Assim o fluxo é
\Phi_B(t)=B(t)\cdot A_r=\mu_0\frac{N}{l}I(t)\cdot \pi r^2.
Derivando em relação ao tempo:
\frac{d\Phi_B}{dt}=\mu_0\frac{N}{l}\pi r^2\frac{dI}{dt}.
Mas \frac{dI}{dt}=a (dado no enunciado).

Passo 10

Aplicando Faraday:
E(2\pi r)=-\mu_0\frac{N}{l}\pi r^2 a.
Isolando E (módulo):
E=\left|\frac{-\mu_0\frac{N}{l}\pi r^2 a}{2\pi r}\right| =\mu_0\frac{N}{l}\frac{r a}{2}.
Portanto a expressão final para a magnitude do campo elétrico induzido dentro do solenóide (para r<R) é
E=\mu_0\frac{N a}{2 l}\, r.
Aqui cada símbolo significa: \mu_0 (permeabilidade do vácuo), N (número de espiras), a (derivada temporal da corrente), l (comprimento do solenóide), r (raio do caminho dentro do solenóide).

Passo 11

Substituímos os valores numéricos na fórmula
E=\mu_0\frac{N a}{2 l}\, r.
Colocando os números:
\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\quad N=219,\quad a=1{,}17\\ \mathrm{A/s},
l=0{,}103\\ \mathrm{m},\quad r=0{,}00475\\ \mathrm{m}.

Passo 12

Calculemos passo a passo o numerador \mu_0 N a r:
N a r = 219\times 1{,}17\times 0{,}00475 \approx 256{,}23\times 0{,}00475 \approx 1{,}21709.
Agora multiplicando por \mu_0=1{,}25663706\times 10^{-6}:
\mu_0 N a r \approx 1{,}21709\times 1{,}25663706\times 10^{-6}\approx 1{,}52953\times 10^{-6}.
Dividimos por 2l:
2l=2\times 0{,}103=0{,}206.
Logo
E=\frac{1{,}52953\times 10^{-6}}{0{,}206}\\ \mathrm{V/m}\approx 7{,}42\times 10^{-6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 13

Interpretação do sinal/direção (breve e prática): o cálculo deu a magnitude do campo elétrico. O sinal na lei de Faraday indica que a direção do campo elétrico é tal que cria um campo magnético que se opõe à variação do fluxo (Lei de Lenz). Como a corrente está aumentando ( a>0 ), o campo magnético axial está aumentando em direção ao eixo; portanto o campo elétrico induzido circula de modo a produzir um campo magnético que se opõe a esse aumento. Em problemas de prova normalmente basta dar a magnitude E, e se pedirem direção pode-se indicar sentido circular (tangencial) determinado pela regra de Lenz.

Resposta

(a) 1,84\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}
(b) 7,42\times 10^{-6}\\ \mathrm{V/m}

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