Um solenóide longo, de comprimento 0,103 m e de raio 1,00 \mathrm{~cm} possui 219 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma \mathrm{I}(\mathrm{t})=\mathrm{at}, onde a 6 uma constante que vale 1,17 \mathrm{~A} / \mathrm{s}.
(a) Calcule a indutāncia do solenóide, considerando este como ideal.
(b) Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância \mathrm{r}=0,475 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao cixo que corta o solenóide ao meio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a indutância do solenóide (tratado como ideal) e (b) a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância r=0,475\\ \mathrm{cm} do eixo, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com unidades já em SI quando for o caso): \;l=0,103\\ \mathrm{m} (comprimento do solenóide) \;R=1,00\\ \mathrm{cm}=0,0100\\ \mathrm{m} (raio do solenóide) \;N=219 (número total de espiras) \;I(t)=a\,t com a=1,17\\ \mathrm{A/s} (taxa de variação da corrente) \;r=0,475\\ \mathrm{cm}=0,00475\\ \mathrm{m} (distância do eixo onde queremos \mathbf{E})
Constante física que usaremos: permeabilidade do vácuo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Passo 2
Vamos calcular a indutância do solenóide. Primeira ideia: para um solenóide longo e ideal a indutância total L é dada por
L=\mu_0\frac{N^2}{l}A,
onde A é a área da secção transversal do solenóide.
Vou explicar o porquê dessa fórmula de forma bem direta: cada espira enxerga um fluxo magnético devido ao campo B produzido por todas as outras espiras. Para um solenóide longo o campo dentro é praticamente uniforme e vale B=\mu_0 n I, com n=N/l (número de espiras por unidade de comprimento). O fluxo por espira é \Phi=B A; como B é proporcional a I, podemos escrever \Phi=L I /N por definição e, reorganizando, obtemos a fórmula acima que expressa L em termos de N,l,A,\mu_0. Aqui cada símbolo significa: \mu_0 (permeabilidade do vácuo), N (número total de espiras), l (comprimento do solenóide), A (área da seção transverse, A=\pi R^2).
Passo 3
Calculemos a área A da secção transversal (círculo de raio R):
Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados):
L\approx 1{,}84\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}.
Observação rápida: em unidades práticas isso equivale a cerca de 184\\ \mu\mathrm{H} (pois 1{,}84\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=184\times10^{-6}\\ \mathrm{H}).
Passo 7
Agora vamos ao item (b): campo elétrico induzido a uma distância r=0,00475\\ \mathrm{m} do eixo, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio. A lei básica a usar é a Lei de Faraday na forma integral:
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície limitada pela curva \mathcal{C}.
Passo 8
Escolha de simetria e caminho de integração: dentro de um solenóide longo o campo magnético é axial e praticamente uniforme no interior. Para um ponto a distância r<R do eixo, pela simetria o campo elétrico induzido \mathbf{E} é tangencial (circunferencial) e depende apenas de r. Então escolhemos \mathcal{C} como um círculo de raio r centrado no eixo. Neste caso
Portanto a expressão final para a magnitude do campo elétrico induzido dentro do solenóide (para r<R) é
E=\mu_0\frac{N a}{2 l}\, r.
Aqui cada símbolo significa: \mu_0 (permeabilidade do vácuo), N (número de espiras), a (derivada temporal da corrente), l (comprimento do solenóide), r (raio do caminho dentro do solenóide).
Interpretação do sinal/direção (breve e prática): o cálculo deu a magnitude do campo elétrico. O sinal na lei de Faraday indica que a direção do campo elétrico é tal que cria um campo magnético que se opõe à variação do fluxo (Lei de Lenz). Como a corrente está aumentando ( a>0 ), o campo magnético axial está aumentando em direção ao eixo; portanto o campo elétrico induzido circula de modo a produzir um campo magnético que se opõe a esse aumento. Em problemas de prova normalmente basta dar a magnitude E, e se pedirem direção pode-se indicar sentido circular (tangencial) determinado pela regra de Lenz.