Questão 2 - (3,5 pontos) Uma comissão para a gestão da verba destinada ao setor de Turismo de uma determinada cidade está sendo montada. A comissão deve ser formada por três pessoas do sexo masculino e três pessoas do sexo feminino. Candidataram-se oito pessoas do sexo masculino e seis do sexo feminino. Este problema trata de combinações ou arranjos? Justifique. Quantas comissões podemos formar? Agora recebemos a informação de que Gustavo e Carmem, que pertencem ao grupo original de candidatos, não aceitam participar de uma mesma comissão? Neste novo cenário, quantas comissões podem ser formadas?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e as informações que temos (tudo que vem do enunciado):
- A comissão terá exatamente três pessoas do sexo masculino e três pessoas do sexo feminino.
- Candidatam-se
homens e mulheres. - Perguntas:
- Este problema trata de combinações ou arranjos? (pede justificativa)
- Quantas comissões podemos formar (sem restrições)?
- Sabendo que Gustavo e Carmem (pertencem ao conjunto de candidatos) não aceitam participar da mesma comissão, quantas comissões podem ser formadas nesse novo cenário?
- Observação necessária para resolver a terceira pergunta: interpretar que Gustavo é um dos
candidatos masculinos e Carmem é uma das candidatas femininas (essa informação é usada explicitamente nas contagens seguintes).
Passo 2
Explicação didática: quando usar combinações e quando usar arranjos.
- Intuição: “arranjo” é quando a ordem importa (por exemplo, selecionar presidente, vice e secretário — posições distintas). “Combinação” é quando a ordem NÃO importa (por exemplo, formar um grupo onde só importa quem está dentro, não a posição).
- Critério prático: se trocar duas pessoas dentro da comissão não altera a comissão, então a ordem não importa → combinação.
- Fórmula de combinação (a ferramenta que vamos usar): para escolher
itens de um conjunto de sem considerar ordem,
onde
(fatorial de
) significa
.
- Exemplo rápido e simples (para fixar):
. Aqui escolhemos 2 de 5 e trocar a ordem não cria uma escolha nova.
Passo 3
Aplicando ao problema: decidir se é combinação ou arranjo.
- Formamos uma comissão de
homens dentre e mulheres dentre . A comissão não atribui cargos; trocar duas pessoas não cria uma comissão nova. Logo, a ordem não importa. - Conclusão (justificativa): trata-se de combinações porque apenas o conjunto de pessoas importa, não uma ordem ou posição.
Passo 4
Contar quantas maneiras escolher os
homens dentre
.
- Usamos a fórmula de combinação com
e :
- Calcule passo a passo:
e , então
Passo 5
Contar quantas maneiras escolher as
mulheres dentre
.
- Usamos
:
- Calcule:
e , então
Passo 6
Combinar escolhas de homens e mulheres (regra do produto).
- As escolhas de homens e mulheres são independentes: para cada escolha de
homens há várias escolhas de mulheres. - Pelo princípio multiplicativo, o número total de comissões sem restrição é
Passo 7
Calcular o total sem restrição.
- Substituindo os valores que obtivemos:
- Portanto, sem restrições há
comissões possíveis.
Passo 8
Agora o cenário com restrição: Gustavo (um homem) e Carmem (uma mulher) não aceitam participar da mesma comissão.
- Estratégia eficiente: contar o total sem restrição e subtrair o número de comissões em que os dois aparecem juntos (casos proibidos).
- Raciocínio: número desejado = total sem restrição − número de comissões com (Gustavo e Carmem) juntos.
Passo 9
Contar comissões em que Gustavo e Carmem estão ambos presentes (casos proibidos).
- Se Gustavo está presente, resta escolher os outros
homens dentre os homens restantes: . - Se Carmem está presente, resta escolher as outras
mulheres dentre as mulheres restantes: . - Logo o número de comissões onde ambos aparecem é
- Calculemos:
e . Então o produto é .
Passo 10
Subtrair os casos proibidos do total.
- Número de comissões permitidas (onde Gustavo e Carmem não aparecem juntos) é
Passo 11
Verificação alternativa (para ter certeza): dividir em casos mutuamente exclusivos e somar.
- Caso A: Gustavo presente, Carmem ausente.
- Homens: Gustavo fixo → escolher
de : . - Mulheres: escolher
das restantes (sem Carmem): . - Total A:
.
- Homens: Gustavo fixo → escolher
- Caso B: Gustavo ausente, Carmem presente.
- Homens: escolher
dos restantes: . - Mulheres: Carmem fixa → escolher
de : . - Total B:
.
- Homens: escolher
- Caso C: ambos ausentes.
- Homens: escolher
dos : . - Mulheres: escolher
das : . - Total C:
.
- Homens: escolher
- Soma
, que confirma o resultado anterior.
Resposta
Combinações.