Questão 2 - (3,5 pontos) Uma comissão para a gestão da verba destinada ao setor de Turismo de uma determinada cidade está sendo montada. A comissão deve ser formada por três pessoas do sexo masculino e três pessoas do sexo feminino. Candidataram-se oito pessoas do sexo masculino e seis do sexo feminino. Este problema trata de combinações ou arranjos? Justifique. Quantas comissões podemos formar? Agora recebemos a informação de que Gustavo e Carmem, que pertencem ao grupo original de candidatos, não aceitam participar de uma mesma comissão? Neste novo cenário, quantas comissões podem ser formadas?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e as informações que temos (tudo que vem do enunciado):
  • A comissão terá exatamente três pessoas do sexo masculino e três pessoas do sexo feminino.
  • Candidatam-se 8 homens e 6 mulheres.
  • Perguntas:
    1. Este problema trata de combinações ou arranjos? (pede justificativa)
    2. Quantas comissões podemos formar (sem restrições)?
    3. Sabendo que Gustavo e Carmem (pertencem ao conjunto de candidatos) não aceitam participar da mesma comissão, quantas comissões podem ser formadas nesse novo cenário?
  • Observação necessária para resolver a terceira pergunta: interpretar que Gustavo é um dos 8 candidatos masculinos e Carmem é uma das 6 candidatas femininas (essa informação é usada explicitamente nas contagens seguintes).

Passo 2

Explicação didática: quando usar combinações e quando usar arranjos.
  • Intuição: “arranjo” é quando a ordem importa (por exemplo, selecionar presidente, vice e secretário — posições distintas). “Combinação” é quando a ordem NÃO importa (por exemplo, formar um grupo onde só importa quem está dentro, não a posição).
  • Critério prático: se trocar duas pessoas dentro da comissão não altera a comissão, então a ordem não importa → combinação.
  • Fórmula de combinação (a ferramenta que vamos usar): para escolher k itens de um conjunto de n sem considerar ordem,
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n! = n \cdot (n-1) \cdot \dotsb \cdot 1.
  • Exemplo rápido e simples (para fixar): \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Aqui escolhemos 2 de 5 e trocar a ordem não cria uma escolha nova.

Passo 3

Aplicando ao problema: decidir se é combinação ou arranjo.
  • Formamos uma comissão de 3 homens dentre 8 e 3 mulheres dentre 6. A comissão não atribui cargos; trocar duas pessoas não cria uma comissão nova. Logo, a ordem não importa.
  • Conclusão (justificativa): trata-se de combinações porque apenas o conjunto de pessoas importa, não uma ordem ou posição.

Passo 4

Contar quantas maneiras escolher os 3 homens dentre 8.
  • Usamos a fórmula de combinação com n=8 e k=3:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
  • Calcule passo a passo: 8\cdot7\cdot6 = 336 e 3\cdot2\cdot1 = 6, então
\binom{8}{3}=\frac{336}{6}=56.

Passo 5

Contar quantas maneiras escolher as 3 mulheres dentre 6.
  • Usamos \binom{6}{3}:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}.
  • Calcule: 6\cdot5\cdot4 = 120 e 3\cdot2\cdot1 = 6, então
\binom{6}{3}=\frac{120}{6}=20.

Passo 6

Combinar escolhas de homens e mulheres (regra do produto).
  • As escolhas de homens e mulheres são independentes: para cada escolha de 3 homens há várias escolhas de 3 mulheres.
  • Pelo princípio multiplicativo, o número total de comissões sem restrição é
\binom{8}{3}\times\binom{6}{3}.

Passo 7

Calcular o total sem restrição.
  • Substituindo os valores que obtivemos:
56 \times 20 = 1120.
  • Portanto, sem restrições há 1120 comissões possíveis.

Passo 8

Agora o cenário com restrição: Gustavo (um homem) e Carmem (uma mulher) não aceitam participar da mesma comissão.
  • Estratégia eficiente: contar o total sem restrição e subtrair o número de comissões em que os dois aparecem juntos (casos proibidos).
  • Raciocínio: número desejado = total sem restrição − número de comissões com (Gustavo e Carmem) juntos.

Passo 9

Contar comissões em que Gustavo e Carmem estão ambos presentes (casos proibidos).
  • Se Gustavo está presente, resta escolher os outros 2 homens dentre os 7 homens restantes: \binom{7}{2}.
  • Se Carmem está presente, resta escolher as outras 2 mulheres dentre as 5 mulheres restantes: \binom{5}{2}.
  • Logo o número de comissões onde ambos aparecem é
\binom{7}{2}\times\binom{5}{2}.
  • Calculemos: \binom{7}{2}=\dfrac{7\cdot6}{2\cdot1}=21 e \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Então o produto é 21\times10=210.

Passo 10

Subtrair os casos proibidos do total.
  • Número de comissões permitidas (onde Gustavo e Carmem não aparecem juntos) é
1120-210=910.

Passo 11

Verificação alternativa (para ter certeza): dividir em casos mutuamente exclusivos e somar.
  • Caso A: Gustavo presente, Carmem ausente.
    • Homens: Gustavo fixo → escolher 2 de 7: \binom{7}{2}=21.
    • Mulheres: escolher 3 das 5 restantes (sem Carmem): \binom{5}{3}=10.
    • Total A: 21\times10=210.
  • Caso B: Gustavo ausente, Carmem presente.
    • Homens: escolher 3 dos 7 restantes: \binom{7}{3}=35.
    • Mulheres: Carmem fixa → escolher 2 de 5: \binom{5}{2}=10.
    • Total B: 35\times10=350.
  • Caso C: ambos ausentes.
    • Homens: escolher 3 dos 7: \binom{7}{3}=35.
    • Mulheres: escolher 3 das 5: \binom{5}{3}=10.
    • Total C: 35\times10=350.
  • Soma 210+350+350=910, que confirma o resultado anterior.

Resposta

Combinações.
1120
910

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