Uma loja de computadores comprou cinco computadores de certo tipo por a dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devoluçāo dos computadores nāo vendidos, após um periodo especificado, pagando b dólares por computador devolvido. Seja X a quantidade de computadores vendidos, a tabela abaixo mostra a f.m.p. de X.
x 0 1 2 3 4 5
\mathrm{P}(X=x) 0,05 0,1 0,24 0,28 0,19 0,14
(a) Calcule o valor esperado e variância do número de computadores vendidos.
(b) \mathrm{O} lucro da loja como funçāo do número de computadores vendidos. Lembre-se que lucro - receita - despesa.
(c) Suponha que o vendedor tenha negociado com o fabricante que concordou em dois acordos possíveis, sendo eles:
Acordo A: a=500 e b=200. Acordo B: a=400 e b=150.
Calcule o valor esperado e a variância do lucro considerando cada acordo. Qual dos acordos vocé recomendaria que o dono da loja aceitasse? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
  • Informação sobre compra/venda:
    • Foram comprados 5 computadores, cada um por \,a dólares.
    • Cada computador vendido rende \$1000.
    • O fabricante aceita devolver os computadores não vendidos, pagando \,b dólares por computador devolvido.
  • Variável aleatória X: número de computadores vendidos (tem suporte \{0,1,2,3,4,5\}). A f.m.p. é: \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \hline \mathrm{P}(X=x) & 0,05 & 0,1 & 0,24 & 0,28 & 0,19 & 0,14 \end{array}
  • Perguntas:
    (a) Calcular o valor esperado \mathrm{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X) de X.
    (b) Escrever o lucro da loja como função do número X de computadores vendidos (lucro = receita − despesa).
    (c) Para os dois acordos dados:
    • Acordo A: a=500 e b=200.
    • Acordo B: a=400 e b=150.
      Calcular o valor esperado e a variância do lucro em cada acordo e indicar qual acordo recomendar, com justificativa.

Passo 2

Cálculo do valor esperado \mathrm{E}[X]. Fórmula e ideia:
  • A definição de esperança para variável discreta é \mathrm{E}[X]=\sum_x x\,\mathrm{P}(X=x).
  • Aqui somamos produto de cada valor x pela sua probabilidade.
Cálculo termo a termo (todos os termos estão em TeX):
\begin{aligned} \mathrm{E}[X] &=0\cdot0,05+1\cdot0,1+2\cdot0,24+3\cdot0,28+4\cdot0,19+5\cdot0,14\\\ &=0+0,1+0,48+0,84+0,76+0,70 \end{aligned}
Somando:
\mathrm{E}[X]=0,1+0,48+0,84+0,76+0,70=2,88.
Interpretação rápida: em média vende-se 2,88 computadores por lote de 5.

Passo 3

Cálculo da variância \mathrm{Var}(X). Fórmula e por que usar:
  • Uma forma prática é \mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[X^2] - (\mathrm{E}[X])^2.
  • Primeiro calculamos \mathrm{E}[X^2]=\sum_x x^2 \mathrm{P}(X=x).
Cálculo de \mathrm{E}[X^2]:
\begin{aligned} \mathrm{E}[X^2] &=0^2\cdot0,05+1^2\cdot0,1+2^2\cdot0,24+3^2\cdot0,28+4^2\cdot0,19+5^2\cdot0,14\\\ &=0+0,1+0,96+2,52+3,04+3,50\\\ &=10,12. \end{aligned}
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[X^2]-(\mathrm{E}[X])^2=10,12-(2,88)^2.
Calcule (2,88)^2=8,2944. Então
\mathrm{Var}(X)=10,12-8,2944=1,8256.
Interpretação: a dispersão em torno da média é aproximadamente 1,8256 (unidade: “(computadores)^2”).

Passo 4

Construção da função lucro L(X). Explicação dos termos (passo a passo):
  • Custo total de compra: foram 5 computadores a \,a cada, então custo = 5a.
  • Receita de vendas: vendendo X unidades a \$1000 cada, receita de vendas = 1000X.
  • Reembolso por devolução: dos 5, devolvem 5-X e o fabricante paga b por devolução, então reembolso = b(5-X).
  • Lucro = receita total (vendas + reembolso) − custo.
Assim, escrevemos:
L(X)=1000X + b(5-X) - 5a.
Simplificando os termos:
\begin{aligned} L(X)&=1000X +5b - bX -5a\\\ &=(1000-b)X + 5(b-a). \end{aligned}
Interpretação dos coeficientes:
  • Coeficiente de X, (1000-b), é o ganho líquido por cada computador efetivamente vendido (venda a 1000 menos o que se deixaria de receber no reembolso se não fosse vendido).
  • Termo constante 5(b-a) é o ajuste fixo que depende da diferença entre o reembolso por unidade e o custo por unidade.
Exemplo rápido de checagem: se X=0 (nenhuma venda), L(0)=5b-5a=5(b-a) — só ficam os reembolsos menos o custo; se X=5 (tudo vendido), L(5)=(1000-b)\cdot5+5(b-a)=5000-5a (venda total menos custo), faz sentido.

Passo 5

Como obter \mathrm{E}[L] e \mathrm{Var}(L) a partir de L(X)=(1000-b)X+5(b-a). Propriedades usadas (explicação):
  • Para constante c e coeficiente m, se L=mX+c então \mathrm{E}[L]=m\,\mathrm{E}[X]+c. Isso vem da linearidade da esperança.
  • Para variância, \mathrm{Var}(L)=m^2\mathrm{Var}(X) porque a constante não altera a variância e multiplicar a variável por m multiplica a variância por m^2.
Portanto:
\mathrm{E}[L]=(1000-b)\,\mathrm{E}[X]+5(b-a), \qquad \mathrm{Var}(L)=(1000-b)^2\,\mathrm{Var}(X).

Passo 6

Cálculos para o Acordo A: a=500,\\ b=200.
  1. Determinar a expressão do lucro:
L_A(X)=(1000-200)X+5(200-500)=800X-1500.
  1. Esperança do lucro:
\mathrm{E}[L_A]=800\cdot\mathrm{E}[X]-1500=800\cdot2,88-1500.
Cálculo: 800\cdot2,88=2304. Logo
\mathrm{E}[L_A]=2304-1500=804.
  1. Variância do lucro:
\mathrm{Var}(L_A)=800^2\cdot\mathrm{Var}(X)=640000\cdot1,8256=1168384.
  1. Observação sobre risco (útil para a recomendação): quando o lucro é negativo?
L_A(X)=800X-1500<0 \iff X<\frac{1500}{800}=1{,}875.
Como X é inteiro, perda ocorre para X=0 ou X=1. Assim
\mathrm{P}(\text{prejuízo no A})=\mathrm{P}(X\le1)=0,05+0,1=0,15.í
Ou seja, probabilidade de perda é 15\%.

Passo 7

Cálculos para o Acordo B: a=400,\\ b=150.
  1. Expressão do lucro:
L_B(X)=(1000-150)X+5(150-400)=850X-1250.
  1. Esperança do lucro:
\mathrm{E}[L_B]=850\cdot\mathrm{E}[X]-1250=850\cdot2,88-1250.
Cálculo: 850\cdot2,88=2448. Logo
\mathrm{E}[L_B]=2448-1250=1198.
  1. Variância do lucro:
\mathrm{Var}(L_B)=850^2\cdot\mathrm{Var}(X)=722500\cdot1,8256=1318996.
  1. Observação sobre risco:
L_B(X)=850X-1250<0 \iff X<\frac{1250}{850}\approx1{,}4706.
Perda ocorre para X=0 ou X=1. Assim
\mathrm{P}(\text{prejuízo no B})=\mathrm{P}(X\le1)=0,15.í
Também 15\% de chance de perda no acordo B.

Passo 8

Comparação e recomendação (justificativa clara, considerando expectativa e risco):
  • Expectativas:
    • \mathrm{E}[L_A]=804.
    • \mathrm{E}[L_B]=1198.
      O Acordo B tem expectativa de lucro maior por lote ( 1198 contra 804).
  • Risco (variância / probabilidade de perda):
    • \mathrm{Var}(L_A)=1168384.
    • \mathrm{Var}(L_B)=1318996.
      O acordo B tem variância um pouco maior (logo maior dispersão), mas a diferença não é enorme em comparação à diferença na esperança.
      Além disso, a probabilidade de prejuízo em ambos os acordos é igual ( 15\%), pois em ambos o prejuízo ocorre somente quando X\in\{0,1\}.
  • Recomendações:
    • Para um dono da loja que deseja maximizar o lucro médio (decisor com atitude neutra quanto a risco ou que tolera um pouco mais de variação), o Acordo B é preferível porque oferece maior lucro esperado e a mesma probabilidade de perda.
    • Se o dono for extremamente avesso a risco e se preocupar mais com variância que com esperança, poderia preferir o Acordo A; porém, dado que a probabilidade de prejuízo é a mesma e a variação adicional do B não é dramaticamente maior, a recomendação prática é aceitar o Acordo B.

Resposta

(a) \mathrm{E}[X]=2,88, \mathrm{Var}(X)=1,8256
(b) L(X)=1000X+b(5-X)-5a=(1000-b)X+5(b-a)
(c) Acordo A: \mathrm{E}[L_A]=804, \mathrm{Var}(L_A)=1168384
Acordo B: \mathrm{E}[L_B]=1198, \mathrm{Var}(L_B)=1318996
Recomendação: aceitar o Acordo B, pois tem maior lucro esperado ( 1198 vs 804) e a mesma probabilidade de prejuízo ( 15\%); a variância é um pouco maior, mas a vantagem em expectativa justifica B para um decisor razoavelmente neutro ao risco.

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