Uma loja de computadores comprou cinco computadores de certo tipo por a dólares cada. Eles serão vendidos a 1000 dólares cada. O fabricante concordou em aceitar a devoluçāo dos computadores nāo vendidos, após um periodo especificado, pagando
dólares por computador devolvido. Seja
a quantidade de computadores vendidos, a tabela abaixo mostra a f.m.p. de
.
0
1
2
3
4
5
0,05
0,1
0,24
0,28
0,19
0,14
(a) Calcule o valor esperado e variância do número de computadores vendidos.
(b)
lucro da loja como funçāo do número de computadores vendidos. Lembre-se que lucro - receita - despesa.
(c) Suponha que o vendedor tenha negociado com o fabricante que concordou em dois acordos possíveis, sendo eles:
Acordo A:
e
. Acordo B:
e
.
Calcule o valor esperado e a variância do lucro considerando cada acordo. Qual dos acordos vocé recomendaria que o dono da loja aceitasse? Justifique sua resposta.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0,05 | 0,1 | 0,24 | 0,28 | 0,19 | 0,14 |
(b)
(c) Suponha que o vendedor tenha negociado com o fabricante que concordou em dois acordos possíveis, sendo eles:
Acordo A:
Calcule o valor esperado e a variância do lucro considerando cada acordo. Qual dos acordos vocé recomendaria que o dono da loja aceitasse? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
- Informação sobre compra/venda:
- Foram comprados
computadores, cada um por dólares. - Cada computador vendido rende
. - O fabricante aceita devolver os computadores não vendidos, pagando
dólares por computador devolvido.
- Foram comprados
- Variável aleatória
: número de computadores vendidos (tem suporte ). A f.m.p. é: - Perguntas:
(a) Calcular o valor esperadoe a variância de .
(b) Escrever o lucro da loja como função do númerode computadores vendidos (lucro = receita − despesa).
(c) Para os dois acordos dados:- Acordo A:
e . - Acordo B:
e .
Calcular o valor esperado e a variância do lucro em cada acordo e indicar qual acordo recomendar, com justificativa.
- Acordo A:
Passo 2
Cálculo do valor esperado
. Fórmula e ideia:
- A definição de esperança para variável discreta é
. - Aqui somamos produto de cada valor
pela sua probabilidade.
Cálculo termo a termo (todos os termos estão em TeX):
Somando:
Interpretação rápida: em média vende-se
computadores por lote de 5.
Passo 3
Cálculo da variância
. Fórmula e por que usar:
- Uma forma prática é
. - Primeiro calculamos
.
Cálculo de
:
Agora a variância:
Calcule
. Então
Interpretação: a dispersão em torno da média é aproximadamente
(unidade: “(computadores)^2”).
Passo 4
Construção da função lucro
. Explicação dos termos (passo a passo):
- Custo total de compra: foram 5 computadores a
cada, então custo = . - Receita de vendas: vendendo
unidades a cada, receita de vendas = . - Reembolso por devolução: dos
, devolvem e o fabricante paga por devolução, então reembolso = . - Lucro = receita total (vendas + reembolso) − custo.
Assim, escrevemos:
Simplificando os termos:
Interpretação dos coeficientes:
- Coeficiente de
, , é o ganho líquido por cada computador efetivamente vendido (venda a 1000 menos o que se deixaria de receber no reembolso se não fosse vendido). - Termo constante
é o ajuste fixo que depende da diferença entre o reembolso por unidade e o custo por unidade.
Exemplo rápido de checagem: se
(nenhuma venda),
— só ficam os reembolsos menos o custo; se
(tudo vendido),
(venda total menos custo), faz sentido.
Passo 5
Como obter
e
a partir de
. Propriedades usadas (explicação):
- Para constante
e coeficiente , se então . Isso vem da linearidade da esperança. - Para variância,
porque a constante não altera a variância e multiplicar a variável por multiplica a variância por .
Portanto:
Passo 6
Cálculos para o Acordo A:
.
- Determinar a expressão do lucro:
- Esperança do lucro:
Cálculo:
. Logo
- Variância do lucro:
- Observação sobre risco (útil para a recomendação): quando o lucro é negativo?
Como
é inteiro, perda ocorre para
ou
. Assim
Ou seja, probabilidade de perda é
.
Passo 7
Cálculos para o Acordo B:
.
- Expressão do lucro:
- Esperança do lucro:
Cálculo:
. Logo
- Variância do lucro:
- Observação sobre risco:
Perda ocorre para
ou
. Assim
Também
de chance de perda no acordo B.
Passo 8
Comparação e recomendação (justificativa clara, considerando expectativa e risco):
-
Expectativas:
-
. -
.
O Acordo B tem expectativa de lucro maior por lote (contra ).
-
-
Risco (variância / probabilidade de perda):
-
. -
.
O acordo B tem variância um pouco maior (logo maior dispersão), mas a diferença não é enorme em comparação à diferença na esperança.
Além disso, a probabilidade de prejuízo em ambos os acordos é igual (), pois em ambos o prejuízo ocorre somente quando .
-
-
Recomendações:
- Para um dono da loja que deseja maximizar o lucro médio (decisor com atitude neutra quanto a risco ou que tolera um pouco mais de variação), o Acordo B é preferível porque oferece maior lucro esperado e a mesma probabilidade de perda.
- Se o dono for extremamente avesso a risco e se preocupar mais com variância que com esperança, poderia preferir o Acordo A; porém, dado que a probabilidade de prejuízo é a mesma e a variação adicional do B não é dramaticamente maior, a recomendação prática é aceitar o Acordo B.
Resposta
(a)
,
(b)
(c) Acordo A:
,
Acordo B: ,
Recomendação: aceitar o Acordo B, pois tem maior lucro esperado ( vs
) e a mesma probabilidade de prejuízo (
); a variância é um pouco maior, mas a vantagem em expectativa justifica B para um decisor razoavelmente neutro ao risco.
Acordo B:
Recomendação: aceitar o Acordo B, pois tem maior lucro esperado (