Questão 2 (5 pontos). Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=\left(\frac{x^{3}}{3}+y\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{y^{3}}{3}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{z^{3}}{3}+2\right) \boldsymbol{k}
e o sólido U \subset \mathbb{R}^{3} definido por
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4, z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}
Considere S como sendo a fronteira de U, isto é, S=\partial U, orientada com a normal externa. Exibindo todas as contas, pede-se
\iint_{S} F \cdot d S
Solução. A divergência do campo vetorial F é
\operatorname{div} F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} .
O sólido U em coordenadas esféricas é descrito por
U=\{(\rho, \theta, \varphi): 1 \leq \rho \leq 4 \cos (\varphi), 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi / 4\}
Pelo Teorema da divergência, e usando coordenadas esféricas, resulta
\begin{aligned} \iint_{S} F \cdot d S & =\iiint_{U} \operatorname{div} F(x, y, z) d V=\iiint_{U}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V= \\\ & =\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{4 \cos (\varphi)} \rho^{2}\left(\rho^{2} \operatorname{sen}(\varphi)\right) d \rho d \theta d \varphi= \\\ & =\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{1}^{4 \cos (\varphi)} \operatorname{sen}(\varphi) d \theta d \varphi= \\\ & =\frac{2 \pi}{5} \int_{0}^{\pi / 4}\left(4^{5} \cos ^{5}(\varphi) \operatorname{sen}(\varphi)-\operatorname{sen}(\varphi)\right) d \varphi= \\\ & =\frac{\pi}{15}(890+3 \sqrt{2}) \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F} pela superfície S=\partial U orientada pela normal externa, isto é, calcular
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
  • O campo vetorial dado é
\mathbf{F}(x,y,z)=\left(\frac{x^{3}}{3}+y\right)\mathbf{i}+\left(\frac{y^{3}}{3}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{z^{3}}{3}+2\right)\mathbf{k}.
  • O sólido U\subset\mathbb{R}^3 é definido por três condições:
    • \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1 (fora ou sobre a esfera de raio 1 centrada na origem),
    • \;x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\le 4 (dentro ou sobre a esfera de raio 2 centrada em (0,0,2)),
    • \;z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} (acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ângulo de 45^\circ com o eixo z).
Resumo do objetivo: calcular o fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} usando as informações acima.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}.
  • Definição operacional: a divergência de \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Aqui F_1(x,y,z)=\dfrac{x^{3}}{3}+y, F_2(x,y,z)=\dfrac{y^{3}}{3}, F_3(x,y,z)=\dfrac{z^{3}}{3}+2.
Calculando cada derivada parcial:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=x^{2},\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=y^{2},\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=z^{2}.
Portanto
\operatorname{div}\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 3

Aplicar o Teorema da divergência (Gauss).
  • Enunciado prático do teorema: se U é um sólido com superfície de fronteira S=\partial U orientada pela normal externa, então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{U}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
  • Aqui podemos aplicar o teorema porque U é um sólido razoável (interseção de regiões regulares) e \mathbf{F} é suave. Assim
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{U}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dV.

Passo 4

Trocar para coordenadas esféricas e escrever dV.
  • Lembrando as fórmulas das coordenadas esféricas (ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z, e azimute \theta):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O fator de Jacobiano (elemento de volume) é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
  • Em esféricas, x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}. Então o integrando fica \rho^{2} e o produto integrando·Jacobiano é \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 5

Descrever a região U em coordenadas esféricas.
Traduzir cada condição:
  1. \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1 vira \rho^{2}\ge 1, logo
\rho\ge 1.
  1. \;x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\le 4. Em esféricas,
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=\rho^{2}-4\rho\cos\varphi+4 \le 4
o que simplifica para
\rho^{2}-4\rho\cos\varphi\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \rho( \rho-4\cos\varphi)\le 0.
Como \rho\ge 0, isso dá 0\le \rho\le 4\cos\varphi. Combinado com \rho\ge1 fica a faixa
1\le \rho\le 4\cos\varphi.
  1. \;z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é
\rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\ge\sin\varphi
ou seja \tan\varphi\le 1, o que implica
0\le \varphi\le \frac{\pi}{4}.
  • O ângulo \theta percorre toda a volta: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Checar que 4\cos\varphi\ge 1 para \varphi\in[0,\pi/4]: como \cos\varphi\ge 1/\sqrt{2}, tem 4\cos\varphi\ge 4/\sqrt{2}>1, então a faixa [1,4\cos\varphi] é válida para todo \varphi\in[0,\pi/4].
Portanto, em esféricas:
U=\{(\rho,\theta,\varphi):\\\ 1\le\rho\le 4\cos\varphi,\\\ 0\le\theta\le 2\pi,\\\ 0\le\varphi\le \pi/4\}.

Passo 6

Montar o integral triplo usando as descrições obtidas.
Usando tudo acima,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{U}\rho^{2}\,dV =\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=1}^{4\cos\varphi}\rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Integrando primeiro em \theta (não há dependência de \theta):
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =2\pi\int_{0}^{\pi/4}\left(\int_{1}^{4\cos\varphi}\rho^{4}d\rho\right)\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 7

Integrar em \rho.
  • A primitiva de \rho^{4} é \dfrac{\rho^{5}}{5}. Então
\int_{1}^{4\cos\varphi}\rho^{4}d\rho=\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{1}^{4\cos\varphi}=\frac{(4\cos\varphi)^{5}-1}{5}.
  • Substituindo no integral:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{2\pi}{5}\int_{0}^{\pi/4}\big((4\cos\varphi)^{5}-1\big)\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 8

Simplificar constantes e preparar para integrar em \varphi.
  • Calcular 4^{5}=1024. Assim
(4\cos\varphi)^{5}=1024\cos^{5}\varphi.
  • O integral fica
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{2\pi}{5}\int_{0}^{\pi/4}\big(1024\cos^{5}\varphi-1\big)\sin\varphi\,d\varphi.
  • Separar em duas integrais:
\frac{2\pi}{5}\left(1024\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi \;-\; \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\right).

Passo 9

Calcular as integrais em \varphi uma a uma.
  1. Integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
  • Use substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
  • Quando \varphi=0 temos u=\cos 0=1. Quando \varphi=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Portanto
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =-\int_{u=1}^{1/\sqrt{2}}u^{5}du=\int_{1/\sqrt{2}}^{1}u^{5}du.
  • Calcule a primitiva:
\int_{1/\sqrt{2}}^{1}u^{5}du=\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{1/\sqrt{2}}^{1} =\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{6}.
  • Note que \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{6}=\dfrac{1}{(\sqrt{2})^{6}}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}. Logo
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{5}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{6}-\frac{1}{48}=\frac{7}{48}.
  1. Integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi.
  • A primitiva de \sin\varphi é -\cos\varphi, assim
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi =[- \cos\varphi]_{0}^{\pi/4}=-\cos\frac{\pi}{4} + \cos 0 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 =1-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 10

Combinar resultados e simplificar.
  • Substituindo os valores obtidos no passo anterior:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{2\pi}{5}\left(1024\cdot\frac{7}{48}-\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right).
  • Calcular 1024\cdot\frac{7}{48}. Como 1024/48=\frac{64}{3}, tem
1024\cdot\frac{7}{48}=\frac{64}{3}\cdot 7=\frac{448}{3}.
  • Então o que está entre parênteses é
\frac{448}{3}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{448-3}{3}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{445}{3}+\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Multiplicando por \dfrac{2\pi}{5}:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{2\pi}{5}\left(\frac{445}{3}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\frac{890\pi}{15}+\frac{2\pi}{5\sqrt{2}}.
  • Note que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Assim \dfrac{2\pi}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{5}.
  • Colocando tudo sobre o mesmo denominador 15:
\frac{890\pi}{15}+\frac{3\pi\sqrt{2}}{15} =\frac{\pi}{15}\big(890+3\sqrt{2}\big).

Resposta

\frac{\pi}{15}\bigl(890+3\sqrt{2}\bigr)

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