Questão 2 (5 pontos). Considere o campo vetorial
e o sólido
definido por
Considere
como sendo a fronteira de
, isto é,
, orientada com a normal externa. Exibindo todas as contas, pede-se
Solução. A divergência do campo vetorial
é
O sólido
em coordenadas esféricas é descrito por
Pelo Teorema da divergência, e usando coordenadas esféricas, resulta
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
pela superfície orientada pela normal externa, isto é, calcular
- O campo vetorial dado é
- O sólido
é definido por três condições: -
(fora ou sobre a esfera de raio centrada na origem), -
(dentro ou sobre a esfera de raio centrada em ), -
(acima do cone , ângulo de com o eixo ).
-
Resumo do objetivo: calcular o fluxo
usando as informações acima.
Passo 2
Calcular a divergência de
.
- Definição operacional: a divergência de
é
- Aqui
, , .
Calculando cada derivada parcial:
Portanto
Passo 3
Aplicar o Teorema da divergência (Gauss).
- Enunciado prático do teorema: se
é um sólido com superfície de fronteira orientada pela normal externa, então
- Aqui podemos aplicar o teorema porque
é um sólido razoável (interseção de regiões regulares) e é suave. Assim
Passo 4
Trocar para coordenadas esféricas e escrever
.
- Lembrando as fórmulas das coordenadas esféricas (ângulo polar
medido a partir do eixo , e azimute ):
- O fator de Jacobiano (elemento de volume) é
- Em esféricas,
. Então o integrando fica e o produto integrando·Jacobiano é .
Passo 5
Descrever a região
em coordenadas esféricas.
Traduzir cada condição:
-
vira , logo
-
. Em esféricas,
o que simplifica para
Como
, isso dá
. Combinado com
fica a faixa
-
em esféricas é
ou seja
, o que implica
- O ângulo
percorre toda a volta: . - Checar que
para : como , tem , então a faixa é válida para todo .
Portanto, em esféricas:
Passo 6
Montar o integral triplo usando as descrições obtidas.
Usando tudo acima,
Integrando primeiro em
(não há dependência de
):
logo
Passo 7
Integrar em
.
- A primitiva de
é . Então
- Substituindo no integral:
Passo 8
Simplificar constantes e preparar para integrar em
.
- Calcular
. Assim
- O integral fica
- Separar em duas integrais:
Passo 9
Calcular as integrais em
uma a uma.
- Integral
.
- Use substituição
, então . - Quando
temos . Quando temos . - Portanto
- Calcule a primitiva:
- Note que
. Logo
- Integral
.
- A primitiva de
é , assim
Passo 10
Combinar resultados e simplificar.
- Substituindo os valores obtidos no passo anterior:
- Calcular
. Como , tem
- Então o que está entre parênteses é
- Multiplicando por
:
- Note que
. Assim . - Colocando tudo sobre o mesmo denominador
: