Questāo 1 (5 pontos). Considere
uma funçāo contínua e a seguinte expressão
sendo
Pede-se:
(a) (3 pontos). Esboce e descreva com detalhes a região de integração
como uma única região do tipo I, isto é, da forma
Identifique no seu esboço de
as regiões de integração em
e
.
(b) (2 pontos). Utilizando a descrição de
feita no item (a) acima, expresse as somas
em (1) como uma única integral iterada.
(a)
.
(b)
(b) (2 pontos). Utilizando a descrição de
(a)
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
com as três integrais iteradas (copiadas dali):
As pedido, preciso:
- descrever graficamente a região
como uma única região do tipo I da forma
identificando no esboço as partes correspondentes a
;
- e reescrever
como uma única integral iterada com ou por fora (aqui pedem tipo I, isto é, interno e externo no enunciado original; vamos transformar para o tipo I pedido com como variável externa — verificaremos e escolheremos a ordenação correta).
Passo 2
Identificar as curvas que aparecem nos limites em
. Os limites em
são expressos em função de
e envolvem as expressões
e
. Vou escrever as equações dessas curvas isolando
em função de
(invertendo as relações):
- Da curva
segue
- Da curva
segue
Portanto as duas curvas de fronteira relevantes são as parábolas
Passo 3
Determinar o intervalo possível de
para a região resultante: as duas parábolas intersectam-se (ou têm a mesma raiz em
) quando seus pontos de interseção vertical atingem
. Verifico os zeros:
Logo ambas as parábolas cortam o eixo
em
. Isso mostra que o suporte em
para a região que fica entre essas duas curvas fica contido em
Não há pontos da região fora desse intervalo porque para
ambas as funções dão
e, pelos limites originais (que têm
entre
e
), não há contribuição.
Passo 4
Para cada valor fixo de
com
, qual é o intervalo em
que pertence a
? Observe que numericamente
pois essa desigualdade é equivalente a
, verdadeira quando
. Assim, o segmento vertical que conecta as duas parábolas para um dado
é exatamente
Vou explicar por que esse segmento vertical corresponde precisamente à união
dada originalmente:
- As curvas
e são exatamente as inversas das expressões que apareciam nos limites em (peguei isso das fórmulas originais: e e inverti para obter em função de ). - Para um
fixo entre e , à medida que varia de até , a abscissa está dentro dos intervalos de integração originais (se a condição é a do ; se então cai em um dos intervalos exteriores conforme o sinal de , correspondendo a ou ). Em outras palavras, tomar como variável exterior e entre essas curvas recupera toda a região sem sobreposição nem falta.
Passo 5
Descrever o esboço e identificar
no desenho (descrição detalhada, para você poder desenhar à mão rápido na prova):
- A parábola
é uma parábola voltada para baixo com vértice em e cruzando o eixo em e . - A parábola
é uma parábola mais “alta” também voltada para baixo, vértice em , cruzando o eixo nos mesmos pontos e (porque fator comum). - A região
é a região entre essas duas parábolas, limitada verticalmente por abaixo e por acima, e horizontalmente por e . - No esboço:
-
corresponde à parte da região com : para essas alturas a seção horizontal é um único intervalo — isto aparece como a “faixa central” mais alta entre as parábolas. -
e correspondem às duas “abas” laterais quando : nesses níveis a seção horizontal é formada por dois intervalos afastados do eixo (o buraco central entre e fica abaixo da parábola ), mas quando se reescreve por fatias verticais (fixando ) esses pontos aparecem naturalmente porque para um dado pequeno em módulo o segmento vertical começa em , ou seja, começa acima de ; assim as “abas” laterais e a parte central alta se juntam em uma única faixa vertical para cada .
-
Passo 6
Explicitar a mudança de ordem e escrever a integral única. Como determinamos:
temos que a união
é exatamente
Portanto a integral dupla fica, numa única integral iterada (tipo I, com
como variável externa e
interna):
Passo 7
Checagem rápida (consistência): ao inverter de volta para fatias horizontais, para
as fatias horizontais entregam
(isto é
), e para
recuperam os dois intervalos exteriores (isto é
e
). Assim não perdemos nem repetimos áreas e a fórmula única está correta. Força aí — essa é a forma que você deverá usar na prova para juntar integrais parecidas.