Questāo 1 (5 pontos). Considere f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} uma funçāo contínua e a seguinte expressão
\iint_{D} f(x, y) d A=I_{1}+I_{2}+I_{3}
sendo
Pede-se:
\begin{aligned} & I_{1}=\int_{0}^{1} \int_{-\frac{1}{2} \sqrt{4-y}}^{-\sqrt{1-y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(x, y) d A \\\ & I_{2}=\int_{1}^{4} \int_{-\frac{1}{2} \sqrt{4-y}}^{\frac{1}{2} \sqrt{4-y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{2}} f(x, y) d A \\\ & I_{3}=\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-y}}^{\frac{1}{2} \sqrt{4-y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{3}} f(x, y) d A \end{aligned}
(a) (3 pontos). Esboce e descreva com detalhes a região de integração D como uma única região do tipo I, isto é, da forma
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: a \leq x \leq b, g_{1}(x) \leq y \leq g_{2}(x)\right\} .
Identifique no seu esboço de D as regiões de integração em I_{1}, I_{2} e I_{3}.
(b) (2 pontos). Utilizando a descrição de D feita no item (a) acima, expresse as somas I_{1}+I_{2}+I_{3} em (1) como uma única integral iterada.
(a) D_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq 1,-\frac{\sqrt{4-y}}{2} \leq x \leq-\sqrt{1-y}\right\}.
\begin{aligned} & D_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq y \leq 4,-\frac{\sqrt{4-y}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{4-y}}{2}\right\} \\\ & D_{3}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq 1, \sqrt{1-y} \leq x \leq \frac{\sqrt{4-y}}{2}\right\} \end{aligned}
(b) \iint_{D} f(x, y) d A=I_{1}+I_{2}+I_{3}=
=\int_{-1}^{1} \int_{1-x^{2}}^{4-4 x^{2}} f(x, y) d y d x .

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\iint_{D} f(x,y)\,dA = I_{1}+I_{2}+I_{3}
com as três integrais iteradas (copiadas dali):
I_{1}=\int_{0}^{1}\int_{-\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}}^{-\sqrt{1-y}} f(x,y)\,dx\,dy,
I_{2}=\int_{1}^{4}\int_{-\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}}^{\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\,dy,
I_{3}=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-y}}^{\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\,dy.
As pedido, preciso:
  • descrever graficamente a região D=D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3} como uma única região do tipo I da forma
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: a\le x\le b,\; g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\},
identificando no esboço as partes correspondentes a I_{1},I_{2},I_{3};
  • e reescrever I_{1}+I_{2}+I_{3} como uma única integral iterada com dx ou dy por fora (aqui pedem tipo I, isto é, dx interno e dy externo no enunciado original; vamos transformar para o tipo I pedido com dx como variável externa — verificaremos e escolheremos a ordenação correta).

Passo 2

Identificar as curvas que aparecem nos limites em x. Os limites em x são expressos em função de y e envolvem as expressões \pm\sqrt{1-y} e \pm\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}. Vou escrever as equações dessas curvas isolando y em função de x (invertendo as relações):
  • Da curva x=\pm\sqrt{1-y} segue
y=1-x^{2}.
  • Da curva x=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y} segue
x=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}\quad\Longrightarrow\quad 2x=\pm\sqrt{4-y}\quad\Longrightarrow\quad y=4-4x^{2}.
Portanto as duas curvas de fronteira relevantes são as parábolas
y=1-x^{2}\quad\text{e}\quad y=4-4x^{2}.

Passo 3

Determinar o intervalo possível de x para a região resultante: as duas parábolas intersectam-se (ou têm a mesma raiz em y) quando seus pontos de interseção vertical atingem y=0. Verifico os zeros:
y=1-x^{2}=0\\ \Longrightarrow\\ x=\pm1,
y=4-4x^{2}=0\\ \Longrightarrow\\ x=\pm1.
Logo ambas as parábolas cortam o eixo x em x=\pm1. Isso mostra que o suporte em x para a região que fica entre essas duas curvas fica contido em
-1\le x\le 1.
Não há pontos da região fora desse intervalo porque para |x|>1 ambas as funções dão y<0 e, pelos limites originais (que têm y entre 0 e 4), não há contribuição.

Passo 4

Para cada valor fixo de x com -1\le x\le 1, qual é o intervalo em y que pertence a D? Observe que numericamente
1-x^{2}\le 4-4x^{2}\quad\text{sempre para}\\ |x|\le1,
pois essa desigualdade é equivalente a 0\le 3-3x^{2}, verdadeira quando |x|\le1. Assim, o segmento vertical que conecta as duas parábolas para um dado x\in[-1,1] é exatamente
1-x^{2}\le y\le 4-4x^{2}.
Vou explicar por que esse segmento vertical corresponde precisamente à união D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3} dada originalmente:
  • As curvas y=1-x^{2} e y=4-4x^{2} são exatamente as inversas das expressões que apareciam nos limites em x (peguei isso das fórmulas originais: x=\pm\sqrt{1-y} e x=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y} e inverti para obter y em função de x).
  • Para um x fixo entre -1 e 1, à medida que y varia de 1-x^{2} até 4-4x^{2}, a abscissa x está dentro dos intervalos de integração originais (se y\ge1 a condição é a do I_{2}; se y<1 então x cai em um dos intervalos exteriores conforme o sinal de x, correspondendo a I_{1} ou I_{3}). Em outras palavras, tomar x como variável exterior e y entre essas curvas recupera toda a região sem sobreposição nem falta.

Passo 5

Descrever o esboço e identificar D_{1},D_{2},D_{3} no desenho (descrição detalhada, para você poder desenhar à mão rápido na prova):
  • A parábola y=1-x^{2} é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,1) e cruzando o eixo x em (-1,0) e (1,0).
  • A parábola y=4-4x^{2} é uma parábola mais “alta” também voltada para baixo, vértice em (0,4), cruzando o eixo x nos mesmos pontos (-1,0) e (1,0) (porque fator comum).
  • A região D é a região entre essas duas parábolas, limitada verticalmente por y=1-x^{2} abaixo e por y=4-4x^{2} acima, e horizontalmente por x=-1 e x=1.
  • No esboço:
    • D_{2} corresponde à parte da região com y\in[1,4]: para essas alturas a seção horizontal é um único intervalo [-\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y},\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}] — isto aparece como a “faixa central” mais alta entre as parábolas.
    • D_{1} e D_{3} correspondem às duas “abas” laterais quando y\in[0,1]: nesses níveis a seção horizontal é formada por dois intervalos afastados do eixo y (o buraco central entre -\sqrt{1-y} e \sqrt{1-y} fica abaixo da parábola y=1-x^{2}), mas quando se reescreve por fatias verticais (fixando x) esses pontos aparecem naturalmente porque para um dado x pequeno em módulo o segmento vertical começa em y=1-x^{2}, ou seja, começa acima de y=0; assim as “abas” laterais e a parte central alta se juntam em uma única faixa vertical para cada x.

Passo 6

Explicitar a mudança de ordem e escrever a integral única. Como determinamos:
-1\le x\le 1,\qquad 1-x^{2}\le y\le 4-4x^{2},
temos que a união D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3} é exatamente
D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\;1-x^{2}\le y\le 4-4x^{2}\}.
Portanto a integral dupla fica, numa única integral iterada (tipo I, com x como variável externa e y interna):
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{-1}^{1}\int_{1-x^{2}}^{4-4x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 7

Checagem rápida (consistência): ao inverter de volta para fatias horizontais, para y\in[1,4] as fatias horizontais entregam x\in\big[-\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y},\tfrac{1}{2}\sqrt{4-y}\big] (isto é D_{2}), e para y\in[0,1] recuperam os dois intervalos exteriores (isto é D_{1} e D_{3}). Assim não perdemos nem repetimos áreas e a fórmula única está correta. Força aí — essa é a forma que você deverá usar na prova para juntar integrais parecidas.

Resposta

\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{-1}^{1}\int_{1-x^{2}}^{4-4x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx

Exercícios relacionados