Questão 1. (2,5 pontos)
Considere os dados experimentais abaixo, que relacionam a temperatura T (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) com a viscosidade \mu de um fluido:
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 20 30 40
\mu 1,02 0,80 0,65
a) Determine o polinômio interpolador de grau 2 utilizando o método de Lagrange.
b) Estime o valor da viscosidade para T=35^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos experimentais (T,\mu):
(20,1,02), (30,0,80) e (40,0,65).
Pede (a) o polinômio interpolador de grau 2 pelo método de Lagrange e (b) a estimativa de \mu em T=35.

Passo 2

Pela fórmula de Lagrange, o polinômio interpolador é
p(T)\;=\;\sum_{i=0}^{2} \mu_i\,L_i(T),
onde, tomando x_0=20, x_1=30, x_2=40 e \mu_0=1,02, \mu_1=0,80, \mu_2=0,65, cada base é
L_i(T)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{T-x_j}{x_i-x_j}.

Passo 3

Calculando as bases:
L_0(T)=\frac{(T-30)(T-40)}{(20-30)(20-40)} =\frac{(T-30)(T-40)}{200},
L_1(T)=\frac{(T-20)(T-40)}{(30-20)(30-40)} =-\frac{(T-20)(T-40)}{100},
L_2(T)=\frac{(T-20)(T-30)}{(40-20)(40-30)} =\frac{(T-20)(T-30)}{200}.

Passo 4

Substituindo em p(T)=\mu_0L_0(T)+\mu_1L_1(T)+\mu_2L_2(T), obtemos
p(T) =\frac{1,02}{200}(T-30)(T-40) -\frac{0,80}{100}(T-20)(T-40) +\frac{0,65}{200}(T-20)(T-30).

Passo 5

Expandindo e somando os coeficientes chega-se à forma simplificada
p(T)=0{,}00035\,T^2 \;-\;0{,}0395\,T\;+\;1{,}67.

Passo 6

Para estimar \mu em T=35, calculamos
\mu(35)=p(35) =0{,}00035\cdot35^2-0{,}0395\cdot35+1{,}67 \approx0{,}71625.

Resposta

(a) \displaystyle p(T)=0{,}00035\,T^2-0{,}0395\,T+1{,}67.
(b) \displaystyle \mu(35)\approx0{,}716.

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