Dois mols de um gás diatômico inicialmente a 300 K realizam o seguinte ciclo: o gás é (1) aquecido a volume constante até 800 K , (2) liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial, (3) contraído a pressão constante para o estado inicial. Supondo que as moléculas do gás nem giram nem oscilam, determine (a) a energia transferida para o gás em forma de calor, (b) o trabalho líquido realizado pelo gás, (c) a eficiência do ciclo, (d) a variação de entropia em cada etapa do ciclo, (e) variação de entropia no ciclo.
R.: (a) 25,5 \mathrm{~kJ}; (b) 4,731 \mathrm{~kJ}; (c) 18,5 \%; (d) 24,45 \mathrm{~J} / \mathrm{K}; 16,3 \mathrm{~J} / \mathrm{K}; - 40,75 \mathrm{~J} / \mathrm{K}; (e) 0

Passo 1

Temos um ciclo com n=2 mol de um gás cujas moléculas não giram nem oscilam, logo só há 3 graus de liberdade de translação. Isso implica
C_V=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\tfrac{5}{2}R.
O ciclo é:
  1. Aquecimento a volume constante de T_1=300 K até T_2=800 K.
  2. Expansão isotérmica a T_2=800 K voltando à pressão inicial P_0.
  3. Compressão a pressão constante P_0 até retornar ao estado inicial.
Vamos calcular (a) o calor absorvido nos processos de aquecimento e isotérmico; (b) o trabalho líquido; (c) a eficiência; (d) as variações de entropia em cada etapa; (e) a variação total de entropia.

Passo 2

No processo 1 ( V= const ),
Q_1=n\,C_V\,(T_2-T_1)=2\cdot\tfrac{3}{2}R\,(800-300) =3R\cdot500=1500R\approx12{,}47\\ \mathrm{kJ}.
No processo 2 (isotérmico em 800 K), a pressão após o passo 1 é
P_1=P_0\frac{T_2}{T_1}=\tfrac{800}{300}P_0,
e o volume final é V_2=(P_1/P_0)V_1=\tfrac{8}{3}V_1. Como Q_2=W_2 e
W_2=nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1} =2R\cdot800\ln\frac{8}{3}\approx13{,}05\\ \mathrm{kJ},
o calor total absorvido é
Q_{\rm in}=Q_1+Q_2\approx12{,}47+13{,}05=25{,}52\\ \mathrm{kJ}.
Portanto, para efeitos de (a):
Q_{\rm in}\approx25{,}5\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

No processo 3 ( P=P_0 ), há rejeição de calor
Q_3=n\,C_P\,(T_1-T_2) =2\cdot\tfrac{5}{2}R\,(300-800) =5R\cdot(-500)=-2500R\approx-20{,}79\\ \mathrm{kJ}.
O trabalho líquido do ciclo é igual ao calor líquido:
W_{\rm net}=Q_1+Q_2+Q_3 \approx12{,}47+13{,}05-20{,}79=4{,}73\\ \mathrm{kJ}.
Assim, em (b):
W_{\rm net}\approx4{,}731\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

A eficiência do ciclo é
\eta=\frac{W_{\rm net}}{Q_{\rm in}} \approx\frac{4{,}731}{25{,}52}=0{,}185\approx18{,}5\%.
Logo, em (c):
\eta\approx18{,}5\%.

Passo 5

Calculamos agora \Delta S em cada etapa:
No passo 1 (adiabático não é, mas V constante),
\Delta S_1=n\,C_V\ln\frac{T_2}{T_1} =2\cdot\tfrac{3}{2}R\ln\frac{800}{300} =3R\ln\!\tfrac{8}{3}\approx24{,}45\\ \mathrm{J/K}.
No passo 2 (isotérmico),
\Delta S_2=\frac{Q_2}{T_2} =nR\ln\frac{V_2}{V_1} =2R\ln\!\tfrac{8}{3}\approx16{,}3\\ \mathrm{J/K}.
No passo 3 (pressão constante),
\Delta S_3=n\,C_P\ln\frac{T_1}{T_2} =2\cdot\tfrac{5}{2}R\ln\frac{300}{800} =5R\ln\!\tfrac{3}{8}\approx-40{,}75\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

A variação total de entropia no ciclo é
\Delta S_{\rm ciclo} =\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3 \approx24{,}45+16{,}3-40{,}75=0\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

(a) 25,5\\ \mathrm{kJ}
(b) 4,731\\ \mathrm{kJ}
(c) 18,5\%
(d) \Delta S_1=24,45\\ \mathrm{J/K}; \Delta S_2=16,3\\ \mathrm{J/K}; \Delta S_3=-40,75\\ \mathrm{J/K}
(e) \Delta S_{\rm ciclo}=0

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