Questão 1 (2,5 pontos)

Considere a função
f(x, y)=\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), f(0,0)=0 .
(a) ( 1,0 ponto) Analise se f é contínua na origem. Explique por que testar apenas os eixos não é suficiente e investigue caminhos não triviais.
(b) ( 1,5 ponto) Determine se f é diferenciável na origem. No seu texto, discuta a relação entre:
  • existência de derivadas parciais,
  • existência de derivadas direcionais,
  • existência da diferencial total.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede duas coisas:
  • (a) verificar se f é contínua na origem;
  • (b) decidir se f é diferenciável na origem e discutir a relação entre existência de derivadas parciais, derivadas direcionais e existência da diferencial total.
Informações úteis que já temos do enunciado: a definição de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. A investigação vai exigir limites quando (x,y)\to(0,0), cálculo de derivadas parciais via definição e estudo das derivadas direcionais; finalmente vou checar se existe uma aplicação linear L (a diferencial total) que aproxima f na origem.]

Passo 2

Definição de continuidade que vou usar (explicando bem): f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para estudar limites em \mathbb{R}^2 é conveniente usar coordenadas polares porque elas factoram a dependência radial (distância ao zero) da dependência angular (direção). Faço a mudança x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}. Substituindo na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)):
\text{numerador} = x^{2}y-y^{3}=r^{3}(\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta),
\text{denominador} = x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{r^{3}\big(\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\big)}{r^{2}}=r\big(\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\big).

Passo 3

Concluo o limite a partir da expressão polar: a quantidade \cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta é uma combinação de senos e cossenos e, portanto, é limitada (existe uma constante M tal que seu valor absoluto é \le M; de fato M\le 2). Logo
|f(x,y)|=r\left|\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\right|\le r\cdot M.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que f(x,y)\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
ou seja, f é contínua na origem.
Comentário pedagógico sobre “testar apenas os eixos”: testar apenas os eixos (por exemplo y=0 e x=0) produz limites zero, mas isso não prova continuidade porque existem funções cujo limite ao longo de eixos é 0 e ao longo de outras curvas não. A mudança para coordenadas polares mostra que há um fator radial r multiplicando uma função angular limitada, o que garante o limite nulo para todas as direções de uma vez — por isso aqui testar eixos seria inconclusivo, enquanto o argumento em polares resolve tudo.

Passo 4

Agora a diferenciação. Primeiro lembro a definição de derivada parcial por definição (muito direto para a prova): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calculo as duas.
Para y=0 e x\neq0 temos f(x,0)=\dfrac{x^{2}\cdot 0-0}{x^{2}+0}=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Para x=0 e y\neq0 temos f(0,y)=\dfrac{0-y^{3}}{0+y^{2}}=-y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{-h-0}{h}=-1.
Portanto as derivadas parciais existem e valem
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.

Passo 5

Derivadas direcionais: definição e cálculo. A derivada direcional de f na origem na direção do vetor (a,b) (assumindo (a,b)\neq(0,0)) é
D_{(a,b)}f(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(ta,tb)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{f(ta,tb)}{t}.
Calculo f(ta,tb) para t\neq0:
f(ta,tb)=\frac{(ta)^{2}(tb)-(tb)^{3}}{(ta)^{2}+(tb)^{2}} =\frac{t^{3}(a^{2}b-b^{3})}{t^{2}(a^{2}+b^{2})} =t\cdot\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Dividindo por t e passando ao limite, obtenho a derivada direcional
D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Portanto todas as derivadas direcionais existem (para qualquer direção (a,b)\neq(0,0)) e a fórmula acima as dá; verifico as compatibilidades: para (a,b)=(1,0) 0 (coincide com \partial f/\partial x) e para (0,1) -1 (coincide com \partial f/\partial y).

Passo 6

O que significa existência da diferencial total (ser diferenciável) na origem? Se f fosse diferenciável em (0,0) então existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, chamando R(h,k)=f(h,k)-f(0,0)-L(h,k), tem-se
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Quando as derivadas parciais existem, a candidata natural para L é L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k. No nosso caso a candidata é
L(h,k)=0\cdot h+(-1)\cdot k=-k.
Se f for diferenciável então, necessariamente, a derivada direcional na direção (a,b) deve ser L(a,b). Ou seja, diferenciabilidade implica que para todo (a,b)
D_{(a,b)}f(0,0)=L(a,b) = -b.
Vou verificar se isso acontece.

Passo 7

Comparo a fórmula encontrada para derivada direcional com a expressão dada por L. Temos
D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}, \qquad L(a,b)=-b.
Se as duas são iguais para todo (a,b) então seria diferenciável. Faço a diferença:
D_{(a,b)}f(0,0)-L(a,b)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}-(-b) =\frac{a^{2}b-b^{3}+b(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+b^{2}} =\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.
Essa quantidade não é sempre zero (por exemplo, para a direção (a,b)=(1,1) vale \dfrac{2\cdot1^{2}\cdot1}{1+1} =1). Portanto, já vemos que as derivadas direcionais não coincidem com a forma linear L em geral — isso impede diferenciabilidade.
Uma outra verificação direta pelo critério do resto: definindo R(h,k)=f(h,k)-L(h,k)=f(h,k)+k e usando coordenadas polares (h,k)=(r\cos\theta,r\sin\theta) obtemos (como em Passo 2)
f(h,k)=r\big(\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\big),\qquad k=r\sin\theta,
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R(h,k)=r\big(\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\big)+r\sin\theta =r\sin\theta\big(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta+1\big).
Simplifico a expressão usando \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos 2\theta:
R(h,k)=r\sin\theta\big(\cos 2\theta+1\big)=2r\sin\theta\cos^{2}\theta.
Dividindo pelo raio r=\sqrt{h^{2}+k^{2}} temos
\frac{|R(h,k)|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=\frac{|2r\sin\theta\cos^{2}\theta|}{r}=2|\sin\theta|\cos^{2}\theta.
Essa quantidade depende de \theta e não tende para 0 quando (h,k)\to(0,0) (porque não depende de r e, por exemplo, ao longo de qualquer reta y=mx com m\neq0 ela é um número não nulo). Em particular, como não é verdadeiro que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0,
a definição de diferenciabilidade falha. Logo f não é diferenciável na origem.

Passo 8

Síntese e interpretação das relações pedidas (em linguagem direta e útil para prova):
  • Existência de derivadas parciais: elas existem em (0,0) e valem \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1. Mas isso, por si só, não garante diferenciabilidade.
  • Existência de derivadas direcionais: todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e têm a expressão
D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Mesmo a existência de todas as derivadas direcionais não assegura que haja uma diferencial linear que as represente simultaneamente; é preciso ainda que a aplicação que manda (a,b)\mapsto D_{(a,b)}f(0,0) seja linear (ou equivalente: que o erro R(h,k) seja o(\sqrt{h^{2}+k^{2}})).
  • Existência da diferencial total: exige que as derivadas direcionais se obtêm por um mapa linear L (o produto escalar com o gradiente). Aqui as derivadas direcionais não coincidem com a forma linear dada pelas derivadas parciais (i.e. não coincidem com -b), portanto a diferencial total não existe. Conclusão: derivadas parciais existem, derivadas direcionais existem, mas f não é diferenciável na origem.

Resposta

(a) f é contínua na origem.
(b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1; todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e são D_{(a,b)}f(0,0)=\dfrac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}; porém f NÃO é diferenciável na origem (a diferencial total não existe).

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