(a) ( 1,0 ponto) Analise se f é contínua na origem. Explique por que testar apenas os eixos não é suficiente e investigue caminhos não triviais.
(b) ( 1,5 ponto) Determine se f é diferenciável na origem. No seu texto, discuta a relação entre:
(b) decidir se f é diferenciável na origem e discutir a relação entre existência de derivadas parciais, derivadas direcionais e existência da diferencial total.
Informações úteis que já temos do enunciado: a definição de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. A investigação vai exigir limites quando (x,y)\to(0,0), cálculo de derivadas parciais via definição e estudo das derivadas direcionais; finalmente vou checar se existe uma aplicação linear L (a diferencial total) que aproxima f na origem.]
Passo 2
Definição de continuidade que vou usar (explicando bem): f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Para estudar limites em \mathbb{R}^2 é conveniente usar coordenadas polares porque elas factoram a dependência radial (distância ao zero) da dependência angular (direção). Faço a mudança x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}. Substituindo na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)):
Concluo o limite a partir da expressão polar: a quantidade \cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta é uma combinação de senos e cossenos e, portanto, é limitada (existe uma constante M tal que seu valor absoluto é \le M; de fato M\le 2). Logo
|f(x,y)|=r\left|\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\right|\le r\cdot M.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que f(x,y)\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
ou seja, f é contínua na origem.
Comentário pedagógico sobre “testar apenas os eixos”: testar apenas os eixos (por exemplo y=0 e x=0) produz limites zero, mas isso não prova continuidade porque existem funções cujo limite ao longo de eixos é 0 e ao longo de outras curvas não. A mudança para coordenadas polares mostra que há um fator radial r multiplicando uma função angular limitada, o que garante o limite nulo para todas as direções de uma vez — por isso aqui testar eixos seria inconclusivo, enquanto o argumento em polares resolve tudo.
Passo 4
Agora a diferenciação. Primeiro lembro a definição de derivada parcial por definição (muito direto para a prova): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
Dividindo por t e passando ao limite, obtenho a derivada direcional
D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Portanto todas as derivadas direcionais existem (para qualquer direção (a,b)\neq(0,0)) e a fórmula acima as dá; verifico as compatibilidades: para (a,b)=(1,0) dá 0 (coincide com \partial f/\partial x) e para (0,1) dá -1 (coincide com \partial f/\partial y).
Passo 6
O que significa existência da diferencial total (ser diferenciável) na origem? Se f fosse diferenciável em (0,0) então existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, chamando R(h,k)=f(h,k)-f(0,0)-L(h,k), tem-se
Quando as derivadas parciais existem, a candidata natural para L é L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k. No nosso caso a candidata é
L(h,k)=0\cdot h+(-1)\cdot k=-k.
Se f for diferenciável então, necessariamente, a derivada direcional na direção (a,b) deve ser L(a,b). Ou seja, diferenciabilidade implica que para todo (a,b)
D_{(a,b)}f(0,0)=L(a,b) = -b.
Vou verificar se isso acontece.
Passo 7
Comparo a fórmula encontrada para derivada direcional com a expressão dada por L. Temos
Essa quantidade não é sempre zero (por exemplo, para a direção (a,b)=(1,1) vale \dfrac{2\cdot1^{2}\cdot1}{1+1} =1). Portanto, já vemos que as derivadas direcionais não coincidem com a forma linear L em geral — isso impede diferenciabilidade.
Uma outra verificação direta pelo critério do resto: definindo R(h,k)=f(h,k)-L(h,k)=f(h,k)+k e usando coordenadas polares (h,k)=(r\cos\theta,r\sin\theta) obtemos (como em Passo 2)
Essa quantidade depende de \theta e não tende para 0 quando (h,k)\to(0,0) (porque não depende de r e, por exemplo, ao longo de qualquer reta y=mx com m\neq0 ela é um número não nulo). Em particular, como não é verdadeiro que
a definição de diferenciabilidade falha. Logo f não é diferenciável na origem.
Passo 8
Síntese e interpretação das relações pedidas (em linguagem direta e útil para prova):
Existência de derivadas parciais: elas existem em (0,0) e valem \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1. Mas isso, por si só, não garante diferenciabilidade.
Existência de derivadas direcionais: todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e têm a expressão
D_{(a,b)}f(0,0)=\frac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Mesmo a existência de todas as derivadas direcionais não assegura que haja uma diferencial linear que as represente simultaneamente; é preciso ainda que a aplicação que manda (a,b)\mapsto D_{(a,b)}f(0,0) seja linear (ou equivalente: que o erro R(h,k) seja o(\sqrt{h^{2}+k^{2}})).
Existência da diferencial total: exige que as derivadas direcionais se obtêm por um mapa linear L (o produto escalar com o gradiente). Aqui as derivadas direcionais não coincidem com a forma linear dada pelas derivadas parciais (i.e. não coincidem com -b), portanto a diferencial total não existe. Conclusão: derivadas parciais existem, derivadas direcionais existem, mas f não é diferenciável na origem.
Resposta
(a) f é contínua na origem.
(b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1; todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e são D_{(a,b)}f(0,0)=\dfrac{a^{2}b-b^{3}}{a^{2}+b^{2}}; porém f NÃO é diferenciável na origem (a diferencial total não existe).