Encontre os valores positivos x, y, z tais que
x+y+z=20
e x^{2}+y^{2}+z^{2} seja mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Procuram-se números positivos x,y,z.
  • Há a restrição x+y+z=20.
  • Queremos que a quantidade x^{2}+y^{2}+z^{2} seja mínima, sob essa restrição.
O que o problema pede explicitamente: encontrar os valores de x,y,z (positivos) que minimizam x^{2}+y^{2}+z^{2} dadas as condições acima.

Passo 2

Ideia útil (fórmula que vou usar) — desigualdade de Cauchy–Schwarz: para dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) vale
\bigl(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\bigr)^{2}\le\bigl(a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}\bigr)\bigl(b_1^{2}+b_2^{2}+b_3^{2}\bigr).
Aqui a_i e b_i são componentes dos vetores — a desigualdade dá uma relação entre o produto interno ao quadrado e os comprimentos dos vetores. A igualdade ocorre exatamente quando os vetores são proporcionais (isto é, quando existe \lambda tal que a_i=\lambda b_i para todos os i).

Passo 3

Aplicando Cauchy–Schwarz com o vetor (a_1,a_2,a_3)=(x,y,z) e o vetor (b_1,b_2,b_3)=(1,1,1), obtemos
\bigl(x\cdot1+y\cdot1+z\cdot1\bigr)^{2}\le\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\bigl(1^{2}+1^{2}+1^{2}\bigr).
Simplificando os termos conhecidos:
(x+y+z)^{2}\le 3\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Da desigualdade anterior isolamos x^{2}+y^{2}+z^{2}:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge\frac{(x+y+z)^{2}}{3}.
Agora usamos a restrição que foi dada no enunciado, ou seja (x+y+z)=20. Substituindo:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge\frac{20^{2}}{3}=\frac{400}{3}.
Portanto \dfrac{400}{3} é um limite inferior para x^{2}+y^{2}+z^{2} sob a condição dada.

Passo 5

Condição de igualdade em Cauchy–Schwarz: ela ocorre quando os vetores são proporcionais. No nosso caso isso significa
(x,y,z)=\lambda(1,1,1)\quad\text{para algum }\lambda.
Isto implica x=y=z. Usando a restrição \,x+y+z=20 com x=y=z temos
3x=20\quad\Rightarrow\quad x=\frac{20}{3}.
Logo x=y=z=\dfrac{20}{3}. Esses valores são positivos (como o problema exige) e satisfazem a igualdade da desigualdade, ou seja atingem o menor valor possível de x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 6

Calculando o valor mínimo correspondente:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=3\cdot\frac{400}{9}=\frac{400}{3}.
Portanto o menor valor possível é \dfrac{400}{3}, alcançado quando x=y=z=\dfrac{20}{3}.

Resposta

x=y=z=\dfrac{20}{3}

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