Encontre os valores positivos
tais que
e
seja mínimo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Procuram-se números positivos
. - Há a restrição
- Queremos que a quantidade
seja mínima, sob essa restrição.
O que o problema pede explicitamente: encontrar os valores de
(positivos) que minimizam
dadas as condições acima.
Passo 2
Ideia útil (fórmula que vou usar) — desigualdade de Cauchy–Schwarz: para dois vetores
e
vale
Aqui
e
são componentes dos vetores — a desigualdade dá uma relação entre o produto interno ao quadrado e os comprimentos dos vetores. A igualdade ocorre exatamente quando os vetores são proporcionais (isto é, quando existe
tal que
para todos os
).
Passo 3
Aplicando Cauchy–Schwarz com o vetor
e o vetor
, obtemos
Simplificando os termos conhecidos:
Passo 4
Da desigualdade anterior isolamos
:
Agora usamos a restrição que foi dada no enunciado, ou seja
. Substituindo:
Portanto
é um limite inferior para
sob a condição dada.
Passo 5
Condição de igualdade em Cauchy–Schwarz: ela ocorre quando os vetores são proporcionais. No nosso caso isso significa
Isto implica
. Usando a restrição
com
temos
Logo
. Esses valores são positivos (como o problema exige) e satisfazem a igualdade da desigualdade, ou seja atingem o menor valor possível de
.
Passo 6
Calculando o valor mínimo correspondente:
Portanto o menor valor possível é
, alcançado quando
.