Questão 2-(8 pontos)-Dada a gramática:
S A mid lambda
A aA|a| B
B bB|b| C
C cC mid c
A) Mostre a linguagem gerada pela gramática.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é a linguagem gerada por uma gramática específica. Estamos trabalhando com gramáticas formais, que são usadas para definir linguagens, especialmente na área de teoria da computação. Para resolver, precisamos entender cada regra de produção da gramática e ver como elas combinam símbolos para formar as palavras da linguagem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os símbolos não-terminais e terminais na gramática:
  • Símbolos não-terminais: S, A, B, C
  • Símbolos terminais: a, b, c
A gramática tem as seguintes regras de produção:
  1. $ \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{A} \mid \lambda $
  2. $ \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{aA} \mid \mathrm{a} \mid \mathrm{B} $
  3. $ \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{bB} \mid \mathrm{b} \mid \mathrm{C} $
  4. $ \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{cC} \mid \mathrm{c} $

Passo 3

Vamos começar pela regra de S:
  • $ \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{A} $
  • $ \mathrm{S} \rightarrow \lambda $ (onde $ \lambda $ representa a palavra vazia)
Então, a linguagem pode incluir a palavra vazia ou tudo que A gera.

Passo 4

Agora, analisamos A:
  • $ \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{aA} $: adiciona um ‘a’ e repete A
  • $ \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{a} $: adiciona um único ‘a’
  • $ \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} $: passa para a produção de B
Isso significa que A pode gerar qualquer sequência de 'a’s, ou pode descer para B.

Passo 5

Vamos para B:
  • $ \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{bB} $: adiciona um ‘b’ e repete B
  • $ \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{b} $: adiciona um único ‘b’
  • $ \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} $: passa para a produção de C
Então, B pode gerar qualquer sequência de 'b’s, ou pode descer para C.

Passo 6

Finalmente, analisamos C:
  • $ \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{cC} $: adiciona um ‘c’ e repete C
  • $ \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{c} $: adiciona um único ‘c’
Assim, C pode gerar qualquer sequência de 'c’s.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
  • S pode ser a palavra vazia $ \lambda $, ou o que A gera.
  • A gera sequências de 'a’s ou passa para B.
  • B gera sequências de 'b’s ou passa para C.
  • C gera sequências de 'c’s.
Então, a linguagem gerada pode ter:
  • A palavra vazia.
  • Sequências de 'a’s.
  • Sequências de 'a’s seguidas de 'b’s.
  • Sequências de 'a’s seguidas de 'b’s e depois de 'c’s.

Resposta

A linguagem gerada pela gramática é o conjunto de todas as cadeias formadas por zero ou mais 'a’s, seguidos de zero ou mais 'b’s, seguidos de zero ou mais 'c’s. Formalmente:
L = a^n b^m c^p mid n, m, p >= 0

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