QUESTÃO 1: (2 pontos)

(Deixe sua resposta na forma de equação com respectivos números e grandeza fisica que o Prof. completará o cálculo na correção da prova).
Suponha que uma placa possua uma trinca perfurante e centralizada em relação à largura, com a seguinte geometria: Largura =2 \mathrm{~m}. altura =4 \mathrm{~m} e espessura =25 \mathrm{~mm}. Comprimento total da trinca (2 \mathrm{c})=10 \mathrm{~mm}. Material: Aço baixa liga estrutural ( 0,45 \mathrm{C}-Ni-Cr-Mo) com LE =1500 \mathrm{MPa} e \mathrm{KIC}_{\text {IC }}=50 \mathrm{MPa} . \mathrm{m}^{1 / 2}
a) Admitindo comportamento frágil, qual a força máxima (trativa e alinhada com a altura da placa) que pode ser aplicada na placa com trinca sem que cause fratura no material ? (admita fator de intensidade de tensão =1 ). Explicite seus cálculos.
b) Qual deveria ser o comprimento de trinca (2c) para que haja deformação plástica antes da trinca disparar e resultar em fratura frágil? Explicite seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os seguintes dados:
  • Perguntas:
    1. (a) Admitindo comportamento frágil e fator de intensidade de tensão Y=1, qual a força máxima (trativa, alinhada com a altura da placa) que pode ser aplicada sem causar fratura?
    2. (b) Qual deveria ser o comprimento total da trinca (2c) para que haja deformação plástica (escoamento) antes da trinca disparar e resultar em fratura frágil?
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{Largura da placa (perpendicular à tração)} = 2{,}0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Altura da placa (direção da tração)} = 4{,}0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Espessura} = 25\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Comprimento total da trinca}:\;2c = 10\\ \mathrm{mm} \Rightarrow c = 5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Material: Aço baixa liga, com } LE=1500\\ \mathrm{MPa} \\ (\text{limite de escoamento})\\\ &K_{IC}=50\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}^{1/2} \\\ &\text{Fator de intensidade (geometria) } Y = 1. \end{aligned}àçãçãçãç

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática e passo-a-passo do que representam as grandezas):
  • Em mecânica da fratura, a fratura por crescimento estável ou instável de uma trinca é controlada pelo fator de intensidade de tensões \;K_I\;. Para uma trinca de meia-comprimento c sujeita a uma tensão nominal \sigma, e com fator geométrico Y, o modo I (abertura) é dado por:
    K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi\,c}.
    Onde:
    • K_I tem unidade de \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{1/2} (ou \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}^{1/2});
    • \sigma é a tensão nominal aplicada (em \mathrm{Pa});
    • c é a meia-comprimento da trinca (em \mathrm{m});
    • Y é um número adimensional que corrige a geometria da trinca e da peça.
  • A fratura frágil ocorre quando o fator de intensidade atinge a tenacidade do material:
    K_I = K_{IC}.
    Assim, podemos isolar a tensão crítica \sigma_c que causa fratura:
    \sigma_c = \frac{K_{IC}}{Y\,\sqrt{\pi\,c}}.
    Essa fórmula tem sentido dimensional: K_{IC} dividido por \sqrt{\text{m}} \mathrm{Pa}.
  • A força máxima F_{\max} que a placa pode suportar (trativa ao longo da altura) relaciona-se com a tensão crítica pela área de seção que resiste à tração. Como a tração está alinhada com a altura, a seção resistente é a largura da placa multiplicada pela espessura:
    A = (\text{largura})\times(\text{espessura}) = b\cdot t.
    Logo:
    F_{\max} = \sigma_c \, A.

Passo 3

Aplicando para o item (a): cálculo da tensão crítica \sigma_c usando os dados.
  • Substituindo na fórmula de \sigma_c:
    \sigma_c = \frac{K_{IC}}{Y\,\sqrt{\pi\,c}}.
    Colocando os valores (observe K_{IC}=50\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}^{1/2}=50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{1/2} e c=0{,}005\\ \mathrm{m}):
    \sigma_c = \frac{50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{1/2}}{1\cdot\sqrt{\pi\cdot 0{,}005\\ \mathrm{m}}}.
  • Calcule passo a passo (para fazer na prova sem calculadora, aproxime \pi\approx3{,}1416 e mostre raízes):
    \pi\cdot c = 3{,}1416\times 0{,}005 = 0{,}015708\\ \mathrm{m},
\sqrt{\pi c} \approx \sqrt{0{,}015708}\approx 0{,}12533\\ \mathrm{m}^{1/2}.
Então
\sigma_c \approx \frac{50\times10^{6}}{0{,}12533}\\ \mathrm{Pa}\approx 399{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=399{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Cálculo da força máxima F_{\max} para (a):
  • Área da seção resistente:
    A = b\cdot t = 2{,}0\\ \mathrm{m}\times 0{,}025\\ \mathrm{m} = 0{,}05\\ \mathrm{m}^2.
  • Portanto:
    F_{\max} = \sigma_c\,A \approx 399{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}05\\ \mathrm{m}^2.
F_{\max} \approx 19{,}955\times10^{6}\\ \mathrm{N}\approx 1{,}9955\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação rápida (controle mental): como LE=1500\\ \mathrm{MPa} é muito maior que \sigma_c\approx399{,}1\\ \mathrm{MPa}, a fratura por crescimento da trinca (frágil) ocorrerá antes do escoamento global — isto confirma que, com 2c=10\\ \mathrm{mm}, o material quebra de forma frágil antes de escoar.

Passo 5

Agora o item (b): comprimento de trinca para que haja deformação plástica antes da fratura frágil.
  • A condição para que ocorra deformação plástica (escoamento) antes da fratura é que a tensão que provoca fratura \sigma_c seja maior ou igual ao limite de escoamento LE. Em outras palavras, queremos que ao se atingir \sigma = LE o fator K_I ainda seja menor que K_{IC}, ou, equivalently, que a fratura só ocorra a tensões maiores que LE. A fronteira entre os dois regimes é dada por: \sigma_c = LE.Substituindo \sigma_c = \dfrac{K_{IC}}{Y\sqrt{\pi c}} e isolando c: LE = \frac{K_{IC}}{Y\sqrt{\pi c}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\pi c} = \frac{K_{IC}}{Y\,LE}.Elevando ao quadrado: \pi c = \left(\frac{K_{IC}}{Y\,LE}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{IC}}{Y\,LE}\right)^2.

Passo 6

Calcule c numericamente para (b) e depois 2c:
  • Substituindo K_{IC}=50\\ \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{m}^{1/2}=50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{1/2}, LE=1500\\ \mathrm{MPa}=1500\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e Y=1: \frac{K_{IC}}{Y\,LE} = \frac{50\times10^{6}}{1500\times10^{6}} = \frac{50}{1500} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033333\ldots
\left(\frac{K_{IC}}{Y\,LE}\right)^2 = \left(\frac{1}{30}\right)^2 = \frac{1}{900}\approx 0{,}001111\bar{1}.
c = \frac{1}{\pi}\times \frac{1}{900} \approx \frac{0{,}0011111}{3{,}1416} \approx 0{,}0003537\\ \mathrm{m} = 0{,}3537\\ \mathrm{mm}.
  • Portanto o comprimento total da trinca: 2c \approx 2\times 0{,}3537\\ \mathrm{mm} \approx 0{,}7074\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Resumo físico e interpretação final (rápida e motivacional):
  • Conclusão prática: com a trinca dada 2c=10\\ \mathrm{mm} a tensão crítica para fratura é muito menor que o limite de escoamento, então o aço neste caso quebraria de forma frágil antes de escoar. Para garantir que o material tenha chance de escoar (deformação plástica) antes que a trinca dispare, a trinca deve ser extremamente curta, da ordem de décimos de milímetro, como calculado acima. Força nos estudos: esse tipo de conta é padrão em provas de mecânica da fratura — você fez tudo certinho até aqui!

Resposta

a) F_{\max} = \sigma_c A = \frac{K_{IC}}{Y\sqrt{\pi c}}\; (b\cdot t) = \frac{50\times10^{6}}{1\sqrt{\pi\cdot 0{,}005}}\times(2{,}0\times 0{,}025) \approx 1{,}9955\times10^{7}\\ \mathrm{N}
b) 2c = 2\left[\frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{IC}}{Y\,LE}\right)^2\right] = 2\left[\frac{1}{\pi}\left(\frac{50}{1500}\right)^2\right]\\ \mathrm{m} \approx 0{,}7074\\ \mathrm{mm}

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