Após 40 h de carbonetação, a concentração de carbono numa profundidade de
em direção ao interior de uma liga ferro-carbono foi de
em massa. Esse tratamento foi conduzido a
e a concentração de carbono superficial mantida constante em
em massa. Determine a concentração inicial de carbono nesta liga. Dado:
.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a concentração inicial de carbono na liga (valor uniforme antes da carbonetação), sabendo que depois de
a concentração a uma profundidade de
vale
em massa e que a concentração superficial foi mantida constante em
em massa.\n\nInformações dadas (vou listar todas as que vamos usar):\n\n- Profundidade onde foi medida a concentração:
.\n- Tempo de tratamento:
após
:
em massa.\n- Concentração superficial mantida:
em massa.\n- Difusividade do carbono a
:
\n\nO que é pedido: determinar a concentração inicial homogênea
da liga (antes do tratamento).)
Passo 2
Que modelo físico usamos e por quê.\n\nQuando temos uma peça suficientemente grande em relação à penetração do soluto e a superfície é mantida com concentração constante, o problema é bem descrito pela difusão unidimensional num semi-espaço semi-infinito com condição de contorno
(superfície) e condição inicial
(concentração inicial uniforme). A solução analítica da equação de difusão (segunda lei de Fick) para esse caso é:\n\n
\n\nExplicando a fórmula (passo-a-passo):\n\n-
é a concentração no ponto
e tempo
.\n-
é a concentração inicial (o que queremos achar).\n-
é a concentração na superfície (aqui
).\n-
é o coeficiente de difusão (aqui
).\n-
é a função complemento do erro:
. A função
é a função erro padrão ligada à integral da gaussiana. Valores de
podem ser obtidos em tabelas, calculadora científica ou por aproximação numérica.\n\nObservação: essa solução satisfaz as condições porque, em
,
e portanto
; quando
,
e
.
Passo 3
Preparar a equação para isolar
.\n\nA partir da solução escrevemos:\n\n
\n\nQueremos resolver essa equação para
. Façamos a álgebra: expandindo o lado direito,\n\n
\n\nColocando os termos com
no mesmo lado:\n\n
\n\nFatorando
:\n\n
\n\nMultiplicando por
para simplificar o denominador:\n\n
\n\nLogo a expressão para
é:\n\n
Passo 4
Converter unidades e calcular o argumento da função
.\n\nPrimeiro calculemos
:\n\n
\n\nAgora a raiz:\n\n
\n\nMultiplicando por
:\n\n
\n\nO argumento da função complemento do erro é, então,\n\n
Passo 5
Avaliar
para
.\n\nExplicação rápida:
e valores de
são tabelados. O valor conhecido próximo é
. Fazendo uma pequena correção para
(usando a derivada
para estimar a variação) obtemos
. Portanto\n\n
\n\n(Se você tiver tabela ou calculadora, obterá essencialmente o mesmo valor:
.)
Passo 6
Substituir os valores na expressão para
e calcular numericamente.\n\nLembrando que
e
e usando
, temos no numerador:\n\n
\n\nO denominador é:\n\n
\n\nPortanto\n\n
Passo 7
Interpretação e dica prática.\n\nO resultado indica que antes da carbonetação a liga tinha concentração inicial de carbono cerca de
em massa. Na prova: memorize a forma da solução para o caso de superfície com concentração constante e pratique calcular o argumento
e usar tabelas de
/
. Se não tiver tabela, uma aproximação linear local da
(usando sua derivada) já dá boa precisão para pequenos ajustes, como fiz aqui. Segura que você consegue — calma e prática!