Após 40 h de carbonetação, a concentração de carbono numa profundidade de 2,5 \mathrm{~mm} em direção ao interior de uma liga ferro-carbono foi de 0,85 \% em massa. Esse tratamento foi conduzido a 1000^{\circ} \mathrm{C} e a concentração de carbono superficial mantida constante em 1,30 \% em massa. Determine a concentração inicial de carbono nesta liga. Dado: \mathrm{D}=3,0 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a concentração inicial de carbono na liga (valor uniforme antes da carbonetação), sabendo que depois de 40\\ \mathrm{h} a concentração a uma profundidade de 2,5\\ \mathrm{mm} vale 0,85\% em massa e que a concentração superficial foi mantida constante em 1,30\% em massa.\n\nInformações dadas (vou listar todas as que vamos usar):\n\n- Profundidade onde foi medida a concentração: x = 2,5\\ \mathrm{mm} = 2,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n- Tempo de tratamento: t = 40\\ \mathrm{h} = 40\cdot 3600\\ \mathrm{s} = 144000\\ \mathrm{s}.\n- Concentração medida na profundidade \(x após t: C(x,t)=0,85\% em massa.\n- Concentração superficial mantida: C_s = 1,30\% em massa.\n- Difusividade do carbono a 1000^\circ\mathrm{C}: D = 3,0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}.\n\nO que é pedido: determinar a concentração inicial homogênea C_i da liga (antes do tratamento).)

Passo 2

Que modelo físico usamos e por quê.\n\nQuando temos uma peça suficientemente grande em relação à penetração do soluto e a superfície é mantida com concentração constante, o problema é bem descrito pela difusão unidimensional num semi-espaço semi-infinito com condição de contorno C(0,t)=C_s (superfície) e condição inicial C(x,0)=C_i (concentração inicial uniforme). A solução analítica da equação de difusão (segunda lei de Fick) para esse caso é:\n\n C(x,t)-C_i = (C_s-C_i)\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)\n\nExplicando a fórmula (passo-a-passo):\n\n- C(x,t) é a concentração no ponto x e tempo t.\n- C_i é a concentração inicial (o que queremos achar).\n- C_s é a concentração na superfície (aqui 1,30\%).\n- D é o coeficiente de difusão (aqui 3,0\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}).\n- \operatorname{erfc}(u) é a função complemento do erro: \operatorname{erfc}(u)=1-\operatorname{erf}(u). A função \operatorname{erf}(u) é a função erro padrão ligada à integral da gaussiana. Valores de \operatorname{erfc} podem ser obtidos em tabelas, calculadora científica ou por aproximação numérica.\n\nObservação: essa solução satisfaz as condições porque, em x=0, \operatorname{erfc}(0)=1 e portanto C(0,t)=C_s; quando x\to\infty, \operatorname{erfc}\to 0 e C\to C_i.

Passo 3

Preparar a equação para isolar C_i.\n\nA partir da solução escrevemos:\n\n C(x,t)-C_i = (C_s-C_i)\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).\n\nQueremos resolver essa equação para C_i. Façamos a álgebra: expandindo o lado direito,\n\n C(x,t)-C_i = C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) - C_i\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).\n\nColocando os termos com C_i no mesmo lado:\n\n -C_i + C_i\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) = C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) - C(x,t).\n\nFatorando C_i:\n\n C_i\left(\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) - 1\right) = C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) - C(x,t).\n\nMultiplicando por -1 para simplificar o denominador:\n\n C_i\left(1 - \operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)\right) = C(x,t) - C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).\n\nLogo a expressão para C_i é:\n\n C_i = \dfrac{C(x,t) - C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)}{1 - \operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)}.

Passo 4

Converter unidades e calcular o argumento da função \operatorname{erfc}.\n\nPrimeiro calculemos Dt:\n\n D\,t = \left(3,0\times 10^{-11}\right)\cdot 144000 = 4,32\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.\n\nAgora a raiz:\n\n \sqrt{D\,t} = \sqrt{4,32\times 10^{-6}} = 2,0785\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n\nMultiplicando por 2:\n\n 2\sqrt{D\,t} = 4,1570\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n\nO argumento da função complemento do erro é, então,\n\n u \equiv \dfrac{x}{2\sqrt{D t}} = \dfrac{2,5\times 10^{-3}}{4,1570\times 10^{-3}} = 0,6012.

Passo 5

Avaliar \operatorname{erfc}(u) para u=0,6012.\n\nExplicação rápida: \operatorname{erfc}(u)=1-\operatorname{erf}(u) e valores de \operatorname{erf} são tabelados. O valor conhecido próximo é \operatorname{erf}(0,6)\approx 0,603856. Fazendo uma pequena correção para u=0,6012 (usando a derivada \dfrac{d}{du}\operatorname{erf}(u)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2} para estimar a variação) obtemos \operatorname{erf}(0,6012)\approx 0,60480. Portanto\n\n \operatorname{erfc}(0,6012) = 1 - \operatorname{erf}(0,6012) \approx 1 - 0,60480 = 0,39520.\n\n(Se você tiver tabela ou calculadora, obterá essencialmente o mesmo valor: \operatorname{erfc}(0,6012)\approx 0,3952.)

Passo 6

Substituir os valores na expressão para C_i e calcular numericamente.\n\nLembrando que C(x,t)=0,85\% e C_s=1,30\% e usando \operatorname{erfc}(u)\approx 0,39520, temos no numerador:\n\n C(x,t) - C_s\,\operatorname{erfc}(u) = 0,85 - 1,30\cdot 0,39520 = 0,85 - 0,51376 = 0,33624\\ (\%\\ \text{em massa}).\n\nO denominador é:\n\n 1 - \operatorname{erfc}(u) = 1 - 0,39520 = 0,60480.\n\nPortanto\n\n C_i = \dfrac{0,33624}{0,60480} \approx 0,5563\\ (\%\\ \text{em massa}).

Passo 7

Interpretação e dica prática.\n\nO resultado indica que antes da carbonetação a liga tinha concentração inicial de carbono cerca de 0,556\% em massa. Na prova: memorize a forma da solução para o caso de superfície com concentração constante e pratique calcular o argumento x/(2\sqrt{Dt}) e usar tabelas de \operatorname{erf}/ \operatorname{erfc}. Se não tiver tabela, uma aproximação linear local da \operatorname{erf} (usando sua derivada) já dá boa precisão para pequenos ajustes, como fiz aqui. Segura que você consegue — calma e prática!

Resposta

C_i \approx 0,556\% em massa

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