Questão 2: (2 pontos) Descreva todas as possíveis matrizes de ordem 3, que estão na forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva todas as possíveis matrizes de ordem 3, que estão na forma escalonada reduzida por linhas.”
Informações dadas (ou assumidas): as matrizes são 3\times 3 com entradas em um corpo (por exemplo \mathbb{R}); queremos listar todas as formas possíveis quando a matriz está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Não há outra restrição no enunciado.

Passo 2

O que significa “forma escalonada reduzida por linhas (RREF)”? Vou recapitular as propriedades que definem essa forma — isso é essencial para descrever todas as matrizes possíveis. Uma matriz está em RREF se, e somente se, todas as seguintes condições valem:
  1. Cada linha nula (linha com todos os zeros) aparece abaixo de todas as linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1. Esse 1 é chamado de “pivô” (ou “leading 1”).
  3. Cada pivô é o único elemento não-nulo em sua coluna (ou seja, acima e abaixo do pivô todos são zeros).
  4. Os pivôs aparecem em colunas cada vez mais à direita conforme descemos linhas, isto é, a posição do pivô de uma linha é à direita da posição do pivô da linha anterior.
    Além disso, por definição de “pivô como primeiro não-nulo da linha”, todos os elementos à esquerda do pivô na mesma linha são zero.

Passo 3

Estratégia de classificação: o número de linhas não-nulas (o número de pivôs) é exatamente o posto (rank) da matriz. Para uma matriz 3\times3 o posto pode ser \,0,1,2 ou \,3. Vou tratar cada caso separadamente e escrever a forma geral em RREF, indicando parâmetros livres quando existirem. Esses parâmetros são entradas livres (qualquer escalar do corpo).

Passo 4

Caso posto r=0.
Se não há linhas não-nulas, a única matriz é a matriz nula:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Não há parâmetros livres aqui.]

Passo 5

Caso posto r=1.
Temos exatamente uma linha não-nula (deve ser a primeira) com um único pivô igual a 1. O pivô pode estar em qualquer uma das três colunas, e as entradas nas colunas não-pivô da mesma linha são parâmetros livres. As três possibilidades são:
Pivot na coluna 1:
\begin{pmatrix} 1 & a & b\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a,b\in F
Aqui o pivô em está em coluna 1 , então a primeira entrada é 1 e entradas à esquerda (não há) são zero; colunas 2 e 3 são livres na primeira linha.
Pivot na coluna 2:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a\in F
Neste caso a primeira coluna é zero (pois o pivô da primeira linha é o primeiro não-nulo e está em coluna 2), e só a coluna 3 pode variar na primeira linha.
Pivot na coluna 3:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Não há parâmetros livres à direita porque o pivô está na última coluna.]

Passo 6

Caso posto r=2.
Temos duas linhas não-nulas (primeira e segunda), com pivôs em posições de colunas estritamente crescentes. Escolhemos duas colunas dentre as três para serem as colunas de pivô. Para cada escolha, as entradas nas colunas não-pivô nas duas primeiras linhas são parâmetros livres, mas sujeitos à condição de que nas colunas de pivô só exista o 1 no local do pivô e zeros nos outros lugares. As três possibilidades são:
Pivôs nas colunas (1,2):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\[4pt] 0 & 1 & b\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a,b\in F
Aqui colunas 1 e 2 são colunas-padrão e_1,e_2; a terceira coluna é livre nas duas primeiras entradas.
Pivôs nas colunas (1,3):
\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a\in F
Note que a segunda coluna (não-pivô) tem apenas um parâmetro na primeira linha; a segunda linha tem zeros nas colunas 1 e 2 porque seu pivô está na coluna 3 e o pivô deve ser o primeiro não-nulo da linha.
Pivôs nas colunas (2,3):
\begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a\in F
Aqui a coluna 1 é inteira zero, colunas 2 e 3 são colunas-padrão e_1,e_2 deslocadas (i.e., 1 nas linhas 1 e 2 respectivamente), e a entrada da coluna 3 na linha 1 pode ser um parâmetro a.]

Passo 7

Caso posto r=3.
Temos três pivôs, um em cada linha e em cada coluna. A única possibilidade é a matriz identidade 3\times3, pois todas as colunas são colunas-padrão:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 8

Resumo e observações finais (úteis para a prova): as formas acima cobrem todos os casos porque o número de pivôs varia de 0 a 3 e, para cada posto r, os pivôs ocupam r colunas distintas em ordem crescente. Em cada coluna de pivô aparece um único 1 na linha correspondente; as colunas não-pivô contêm parâmetros livres nas linhas que têm pivô à esquerda dessas colunas, mas entradas à esquerda do pivô em uma linha são sempre zero. Os parâmetros a,b que usei pertencem ao corpo escolhido (por exemplo \mathbb{R}).

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & a & b\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\[4pt] 0 & 1 & b\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & a & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & a\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
onde a,b são quaisquer escalares do corpo considerado (por exemplo a,b\in\mathbb{R}).]

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