Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
f(x, y)=e^{x}+y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{x}+y
e pede que eu determine as derivadas parciais de primeira ordem, de segunda ordem e as derivadas parciais mistas. Ou seja, preciso encontrar:
f_x,\quad f_y,\quad f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{xy},\quad f_{yx}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que é derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x, escrita f_x ou \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando eu mudo só x e mantenho y fixo. Formalmente:
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h},
medindo a variação quando só y muda. Essas definições são análogas à derivada de uma função de uma variável, mas “congelando” a outra variável.

Passo 3

Agora aplico a definição para f_x. Começo calculando a diferença:
f(x+h,y)-f(x,y) = \big(e^{x+h}+y\big)-\big(e^{x}+y\big)=e^{x+h}-e^{x}.
Dividindo por h e tomando limite:
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{e^{x}\big(e^{h}-1\big)}{h} =e^{x}\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Sabemos (ou lembramos como propriedade básica da exponencial) que
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1,
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f_x(x,y)=e^{x}.
Intuição rápida: y é tratado como constante quando derivamos em relação a x, e a derivada de e^{x} é e^{x}.

Passo 4

Agora f_y. Uso a definição em y:
f(x,y+h)-f(x,y)=\big(e^{x}+y+h\big)-\big(e^{x}+y\big)=h.
Dividindo por h e fazendo o limite:
f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.
Intuição: e^{x} é constante em relação a y, e a derivada de y em relação a y é 1.

Passo 5

Agora passamos às derivadas de segunda ordem. Definições rápidas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big),\qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big),
e as mistas são
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big),\qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_y\big).
Ou seja, para obter f_{xx} eu derivo f_x em x; para f_{xy} eu derivo f_x em y; etc.

Passo 6

Cálculo de f_{xx}. Já tenho f_x(x,y)=e^{x}. Derivando em x:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
A exponencial mantém a mesma forma ao derivar.

Passo 7

Cálculo de f_{xy}. Parto de f_x(x,y)=e^{x}. Agora derivar em y:
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\big)=0,
porque e^{x} não depende de y (é como uma constante quando derivamos em relação a y).

Passo 8

Cálculo de f_{yx}. Parto de f_y(x,y)=1. Derivando em x:
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Observação: aqui vemos que f_{xy}=f_{yx}=0, como esperado para funções suaves — é a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut) acontecendo neste exemplo simples.

Passo 9

Cálculo de f_{yy}. Parto de f_y(x,y)=1. Derivando em y:
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0.

Resposta

f_x(x,y)=e^{x}
f_y(x,y)=1
f_{xx}(x,y)=e^{x}
f_{yy}(x,y)=0
f_{xy}(x,y)=0
f_{yx}(x,y)=0

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