Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine as derivadas parciais de primeira ordem, de segunda ordem e as derivadas parciais mistas. Ou seja, preciso encontrar:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que é derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, escrita
ou
, mede como
varia quando eu mudo só
e mantenho
fixo. Formalmente:
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
medindo a variação quando só
muda. Essas definições são análogas à derivada de uma função de uma variável, mas “congelando” a outra variável.
Passo 3
Agora aplico a definição para
. Começo calculando a diferença:
Dividindo por
e tomando limite:
Sabemos (ou lembramos como propriedade básica da exponencial) que
logo
Intuição rápida:
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora
. Uso a definição em
:
Dividindo por
e fazendo o limite:
Intuição:
é constante em relação a
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora passamos às derivadas de segunda ordem. Definições rápidas:
e as mistas são
Ou seja, para obter
eu derivo
em
; para
eu derivo
em
; etc.
Passo 6
Cálculo de
. Já tenho
. Derivando em
:
A exponencial mantém a mesma forma ao derivar.
Passo 7
Cálculo de
. Parto de
. Agora derivar em
:
porque
não depende de
(é como uma constante quando derivamos em relação a
).
Passo 8
Cálculo de
. Parto de
. Derivando em
:
Observação: aqui vemos que
, como esperado para funções suaves — é a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut) acontecendo neste exemplo simples.
Passo 9
Cálculo de
. Parto de
. Derivando em
: