Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem, de segunda ordem e as derivadas parciais mistas da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Precisamos encontrar:
-
e (primeiras parciais), -
e (segundas parciais puras), -
e (mistas).
-
Passo 2
Vamos lembrar o que é derivada parcial de forma prática e bem mastigada. A derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos
fixo. A definição pela diferença incremental é:
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Na prática, para funções polinomiais (como a nossa), basta tratar a outra variável como constante e derivar em relação à variável de interesse usando as regras básicas de derivação (ex.: derivada de
em relação a
é
; constante tem derivada zero).
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
usando a definição (passo a passo):
- Calcule
:
- Subtraia
:
- Divida por
e faça o limite:
Intuição: como
varia com taxa
quando
muda e
é constante em
, a derivada é
.
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
com o mesmo raciocínio:
- Calcule
:
- Subtraia
:
- Divida por
e faça o limite:
Intuição:
varia com taxa
quando
muda e
é constante em
.
Passo 5
Agora as segundas derivadas puras. Por definição, derivamos novamente as primeiras parciais em relação à mesma variável:
- A primeira parcial em
é a constante . Derivar uma constante em relação a dá zero:
- A primeira parcial em
é a constante . Derivar uma constante em relação a dá zero:
Passo 6
Derivadas mistas. Uma derivada mista é, por exemplo, primeiro derivar em
e depois em
:
- Já temos
. Derivar isto em relação a (tratando como constante) dá:
- Da mesma forma, primeiro
. Derivar em relação a dá:
Observação útil: para funções suficientemente suaves, as derivadas mistas são iguais (
), e aqui ambas valem
.