Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
f(x, y)=3 x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem, de segunda ordem e as derivadas parciais mistas da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x,y)=3x+2y.
  • Precisamos encontrar:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) (primeiras parciais),
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) (segundas parciais puras),
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y) e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y) (mistas).

Passo 2

Vamos lembrar o que é derivada parcial de forma prática e bem mastigada. A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. A definição pela diferença incremental é:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}.
Na prática, para funções polinomiais (como a nossa), basta tratar a outra variável como constante e derivar em relação à variável de interesse usando as regras básicas de derivação (ex.: derivada de ax em relação a x é a; constante tem derivada zero).

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x usando a definição (passo a passo):
  • Calcule f(x+h,y):
f(x+h,y)=3(x+h)+2y=3x+3h+2y.
  • Subtraia f(x,y):
f(x+h,y)-f(x,y)=(3x+3h+2y)-(3x+2y)=3h.
  • Divida por h e faça o limite:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{3h}{h}=3\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3.
Intuição: como 3x varia com taxa 3 quando x muda e 2y é constante em x, a derivada é 3.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y com o mesmo raciocínio:
  • Calcule f(x,y+k):
f(x,y+k)=3x+2(y+k)=3x+2y+2k.
  • Subtraia f(x,y):
f(x,y+k)-f(x,y)=(3x+2y+2k)-(3x+2y)=2k.
  • Divida por k e faça o limite:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{2k}{k}=2\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2.
Intuição: 2y varia com taxa 2 quando y muda e 3x é constante em y.

Passo 5

Agora as segundas derivadas puras. Por definição, derivamos novamente as primeiras parciais em relação à mesma variável:
  • A primeira parcial em x é a constante 3. Derivar uma constante em relação a x dá zero:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3)=0.
  • A primeira parcial em y é a constante 2. Derivar uma constante em relação a y dá zero:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2)=0.

Passo 6

Derivadas mistas. Uma derivada mista é, por exemplo, primeiro derivar em x e depois em y:
  • Já temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3. Derivar isto em relação a y (tratando x como constante) dá:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3)=0.
  • Da mesma forma, primeiro \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2. Derivar em relação a x dá:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2)=0.
Observação útil: para funções suficientemente suaves, as derivadas mistas são iguais ( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}), e aqui ambas valem 0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=0
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=0
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=0

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