Questão 1: ( 5,0 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right)
é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A soma é indexada a partir de n=1 até +\infty.
  • Cada termo da série é a_n=\ln\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right).
  • Observação imediata: para n=1 o denominador n^{2}-1 é 0, o que pode causar problema de definição do termo a_1.

Passo 2

Avaliar o primeiro termo a_1 explicitamente:
a_1=\ln\!\left(\frac{1^{2}+1}{1^{2}-1}\right)=\ln\!\left(\frac{2}{0}\right).
Como \dfrac{2}{0} não é um número finito (é indefinido / tende a +\infty), o termo a_1 não está bem definido como número real finito. Em particular, a série como escrita contém um termo não finito.
Lembrete importante (didático): uma série \sum_{n} a_n só pode convergir se todos os termos a_n forem números reais bem definidos (finito). Se algum termo for infinito ou não estiver definido, a série não é uma soma de números reais e, portanto, não pode convergir no sentido usual.

Passo 3

Conclusão direta a partir do passo anterior: a série dada, com início em n=1, não está bem definida (por causa de a_1) e portanto diverge — não há convergência da série conforme escrita.
Respira fundo — isso resolve a pergunta tal como está formulada. Agora, por curiosidade (e porque isso costuma aparecer em provas: às vezes queriam começar em n=2), vamos analisar o caso útil e pedagógico onde a série começa em n=2.

Passo 4

Estudo da série a partir de n=2: considerar
\sum_{n=2}^{+\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right).
Para n\ge2 o termo é bem definido e positivo. Reescrevendo cada termo:
a_n=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right)=\ln\!\bigg(1+\frac{2}{n^{2}-1}\bigg).
Aqui aparece a forma \ln(1+x) com x=\dfrac{2}{n^{2}-1}, e para n\to\infty temos x\to0. Uma propriedade útil (e simples) do logaritmo é que, para x>-1,
\ln(1+x)\le x.
Aplicando isso com x=\dfrac{2}{n^{2}-1}>0 obtemos
0<a_n=\ln\!\bigg(1+\frac{2}{n^{2}-1}\bigg)\le\frac{2}{n^{2}-1}.
Além disso, pode-se usar o limite de equivalência \ln(1+x)\sim x quando x\to0, o que dá heurística mais precisa:
a_n \sim \frac{2}{n^{2}}\quad\text{quando }n\to\infty.
Agora usamos o teste da comparação: a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{2}{n^{2}-1} converge, pois é comparável (por constantes) à série \sum \dfrac{1}{n^{2}}, que é uma série p com p=2>1. Como 0\le a_n\le \dfrac{2}{n^{2}-1} para todo n\ge2 e a série majorante converge, pelo teste da comparação a série \sum_{n=2}^{\infty} a_n também converge.
Comentário didático extra: também se pode usar o teste do limite comparativo, notando que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{2}{n^{2}-1}\big)}{1/n^{2}}=2,
pois \ln(1+y)\sim y. Esse limite finito e positivo com uma série 1/n^{2} convergente confirma a convergência do teto.

Passo 5

Síntese final e incentivo: resumo curto e direto — a série como escrita (começando em n=1) diverge porque o primeiro termo não está definido; mas se na prova aparecerem variações com início em n=2, aí sim a série converge por comparação com uma série p de expoente 2. Tu já está no caminho certo — presta atenção sempre aos índices de soma (começo em n) e verifica se os termos são bem definidos antes de aplicar testes.

Resposta

Diverge (a série, como escrita, não está definida para n=1 porque a_1=\ln\!\big(\tfrac{2}{0}\big) é indefinido).
Se a soma fosse \sum_{n=2}^{\infty} \ln\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{n^{2}-1}\right), então convergiria (por comparação com a série \sum 1/n^{2}).

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