Questão 1: ( 5,0 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A soma é indexada a partir de
até . - Cada termo da série é
. - Observação imediata: para
o denominador é , o que pode causar problema de definição do termo .
Passo 2
Avaliar o primeiro termo
explicitamente:
Como
não é um número finito (é indefinido / tende a
), o termo
não está bem definido como número real finito. Em particular, a série como escrita contém um termo não finito.
Lembrete importante (didático): uma série
só pode convergir se todos os termos
forem números reais bem definidos (finito). Se algum termo for infinito ou não estiver definido, a série não é uma soma de números reais e, portanto, não pode convergir no sentido usual.
Passo 3
Conclusão direta a partir do passo anterior: a série dada, com início em
, não está bem definida (por causa de
) e portanto diverge — não há convergência da série conforme escrita.
Respira fundo — isso resolve a pergunta tal como está formulada. Agora, por curiosidade (e porque isso costuma aparecer em provas: às vezes queriam começar em
), vamos analisar o caso útil e pedagógico onde a série começa em
.
Passo 4
Estudo da série a partir de
: considerar
.
Para
o termo é bem definido e positivo. Reescrevendo cada termo:
Aqui aparece a forma
com
, e para
temos
. Uma propriedade útil (e simples) do logaritmo é que, para
,
Aplicando isso com
obtemos
Além disso, pode-se usar o limite de equivalência
quando
, o que dá heurística mais precisa:
Agora usamos o teste da comparação: a série
converge, pois é comparável (por constantes) à série
, que é uma série
com
. Como
para todo
e a série majorante converge, pelo teste da comparação a série
também converge.
Comentário didático extra: também se pode usar o teste do limite comparativo, notando que
pois
. Esse limite finito e positivo com uma série
convergente confirma a convergência do teto.
Passo 5
Síntese final e incentivo: resumo curto e direto — a série como escrita (começando em
) diverge porque o primeiro termo não está definido; mas se na prova aparecerem variações com início em
, aí sim a série converge por comparação com uma série
de expoente
. Tu já está no caminho certo — presta atenção sempre aos índices de soma (começo em
) e verifica se os termos são bem definidos antes de aplicar testes.
Resposta
Diverge (a série, como escrita, não está definida para
porque
é indefinido).
Se a soma fosse
, então convergiria (por comparação com a série
).