Questão 1: ( 5,0 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita com termo geral
A pergunta é: determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações relevantes do enunciado que usarei:
- O termo geral é
. - Preciso decidir convergência ou divergência da soma desses
.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula/condição que sempre uso primeiro em provas): uma série
só pode ser convergente se o termo geral
tender a zero quando
. Ou seja, se
(incluindo
), então a série diverge imediatamente. Essa é a chamada condição necessária para convergência de séries (teste do termo geral).
Portanto o primeiro passo prático é estudar o limite
Se eu mostrar que esse limite não é zero (por exemplo que tende a
), então a série diverge.
Passo 3
Para analisar
é útil escrever
Defino
. Conhece-se que
tem limite
. Vou justificar rapidamente esse fato de forma que você possa usar em prova:
Considere o logaritmo:
Coloco
, então
quando
e
Sabe-se (ou pode-se justificar por desenvolvimento em série ou por limite fundamental) que
Logo
, e portanto
Esse resultado é padrão e vale:
.
Passo 4
Agora uso o que acabei de obter. Como
com
, existe
tal que, para todo
,
(Isto é, termos suficientemente grandes estão próximos de
, portanto maiores que
.)
Para esses
tenho
A sequência
cresce exponencialmente (pois
), portanto
Em particular
.
Obs.: uma forma alternativa de ver isso (mais refinada) é expandir
, daí
e
, ou seja cresce como
. Ambas as observações mostram que
não tende a zero, mas sim explode.
Passo 5
Como o termo geral
não tende a zero (de fato tende a
), a série
não pode ser convergente. Pelo teste do termo geral (condição necessária para convergência), concluímos que a série diverge.
Força aí — a ideia-chave para a prova é sempre checar primeiro se o termo geral vai a zero; aqui ele nem chega perto!
Resposta
Divergente.