Questão 1: ( 5,0 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita com termo geral
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
A pergunta é: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
é convergente ou divergente.
Informações relevantes do enunciado que usarei:
  • O termo geral é a_n=(1+1/n)^{n^2}.
  • Preciso decidir convergência ou divergência da soma desses a_n.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula/condição que sempre uso primeiro em provas): uma série \sum a_n só pode ser convergente se o termo geral a_n tender a zero quando n\to\infty. Ou seja, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (incluindo \infty), então a série diverge imediatamente. Essa é a chamada condição necessária para convergência de séries (teste do termo geral).
Portanto o primeiro passo prático é estudar o limite
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.
Se eu mostrar que esse limite não é zero (por exemplo que tende a +\infty), então a série diverge.

Passo 3

Para analisar a_n é útil escrever
a_n=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{n}.
Defino b_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n. Conhece-se que b_n tem limite e. Vou justificar rapidamente esse fato de forma que você possa usar em prova:
Considere o logaritmo:
\ln b_n = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Coloco x=\dfrac{1}{n}, então x\to 0 quando n\to\infty e
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{\ln(1+x)}{x}.
Sabe-se (ou pode-se justificar por desenvolvimento em série ou por limite fundamental) que
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Logo \lim_{n\to\infty}\ln b_n = 1, e portanto
\lim_{n\to\infty} b_n = e^{1}=e.
Esse resultado é padrão e vale: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.

Passo 4

Agora uso o que acabei de obter. Como b_n\to e com e>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
b_n>\frac{e}{2}.
(Isto é, termos suficientemente grandes estão próximos de e, portanto maiores que e/2.)
Para esses n\ge N tenho
a_n=b_n^{\,n} \ge \left(\frac{e}{2}\right)^{n}.
A sequência \left(\dfrac{e}{2}\right)^{n} cresce exponencialmente (pois e/2>1), portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.
Obs.: uma forma alternativa de ver isso (mais refinada) é expandir \ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+o(1/n^2), daí n^2\ln(1+1/n)=n-1/2+o(1) e a_n=\exp(n-1/2+o(1))\sim e^{n}/\sqrt{e}, ou seja cresce como e^n. Ambas as observações mostram que a_n não tende a zero, mas sim explode.

Passo 5

Como o termo geral a_n não tende a zero (de fato tende a +\infty), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
não pode ser convergente. Pelo teste do termo geral (condição necessária para convergência), concluímos que a série diverge.
Força aí — a ideia-chave para a prova é sempre checar primeiro se o termo geral vai a zero; aqui ele nem chega perto!

Resposta

Divergente.

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