Questão 2: (2.5 pontos)
Determine a solução geral
da equação diferencial
sendo
.
(a) Utilize o resultado do item (a) para obter a solução do problema de valor inicial $y(\sqrt{\pi})=0.
(a) Utilize o resultado do item (a) para obter a solução do problema de valor inicial $y(\sqrt{\pi})=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com
. Pede-se:
- Determinar a solução geral
da equação (para ). - Usar esse resultado para resolver o problema de valor inicial com a condição
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem em
. - O domínio é
, portanto podemos dividir por sem problemas e simplificar expressões como sem ambiguidade de sinal. - A condição inicial é
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. Como
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão
:
Explicação rápida: escrever na forma
é o passo inicial para aplicar o método do fator integrante (integrating factor), que é o procedimento padrão para resolver equações lineares de 1ª ordem.
Passo 3
Relembrando o método do fator integrante (de forma simples): para
define-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em derivada do produto
, ou seja:
Depois integra-se ambos os lados e isola-se
. Aqui cada símbolo significa:
-
: função desconhecida que queremos. -
: coeficiente de na forma padrão. -
: termo não-homogêneo. -
: fator integrante, ajuda a reescrever a equação como derivada exata.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
. Temos
Como
,
. Portanto
Observação didática: se fosse permitido
negativo teríamos que escrever
também, mas como o enunciado diz
podemos omitir as barras.
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. A equação
fica
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Logo a equação reescreve-se como
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora falta calcular a integral
.
Passo 7
Calcular a integral por substituição. Faça
. Então
, ou seja
. Substituindo na integral:
Voltando a
:
Inserindo esse resultado em
integral
, podemos absorver constantes e escrever:
onde
é a constante de integração (já inclui qualquer constante adicionada pela integral).
Passo 8
Isolar
. Dividindo por
(novamente
garante validade):
Esta é a solução geral da equação diferencial, com
. Podemos também escrever de forma compacta:
Passo 9
Agora aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Calcular os termos:
Assim
Multiplicando por
:
Passo 10
Substituir
na solução geral para obter a solução do problema de valor inicial:
válida para
.