Questão 2: (2.5 pontos)
Determine a solução geral y(x) da equação diferencial
x y^{\prime}+2 y=\sin \left(x^{2}\right)
sendo x>0.
(a) Utilize o resultado do item (a) para obter a solução do problema de valor inicial $y(\sqrt{\pi})=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y'(x)+2\,y(x)=\sin\!\bigl(x^{2}\bigr),
com x>0. Pede-se:
  • Determinar a solução geral y(x) da equação (para x>0).
  • Usar esse resultado para resolver o problema de valor inicial com a condição y(\sqrt{\pi})=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem em y.
  • O domínio é x>0, portanto podemos dividir por x sem problemas e simplificar expressões como \mathrm{e}^{2\ln x}=x^{2} sem ambiguidade de sinal.
  • A condição inicial é y(\sqrt{\pi})=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. Como x>0, dividimos ambos os lados por x:
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=\frac{\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x}.
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão y'+p(x)y=q(x):
p(x)=\frac{2}{x},\qquad q(x)=\frac{\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x}.
Explicação rápida: escrever na forma y'+p(x)y=q(x) é o passo inicial para aplicar o método do fator integrante (integrating factor), que é o procedimento padrão para resolver equações lineares de 1ª ordem.

Passo 3

Relembrando o método do fator integrante (de forma simples): para
y'+p(x)y=q(x),
define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int p(x)\,dx\bigr). Multiplicando a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo em derivada do produto \bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)', ou seja:
\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)'=\mu(x)\,q(x).
Depois integra-se ambos os lados e isola-se y(x). Aqui cada símbolo significa:
  • y(x): função desconhecida que queremos.
  • p(x): coeficiente de y na forma padrão.
  • q(x): termo não-homogêneo.
  • \mu(x): fator integrante, ajuda a reescrever a equação como derivada exata.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{2}{x}. Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\bigl(2\ln x\bigr).
Como x>0, \exp(2\ln x)=x^{2}. Portanto
\mu(x)=x^{2}.
Observação didática: se fosse permitido x negativo teríamos que escrever \exp(2\ln|x|)=x^{2} também, mas como o enunciado diz x>0 podemos omitir as barras.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação y'+\dfrac{2}{x}y=\dfrac{\sin(x^{2})}{x} fica
x^{2}y'(x)+2x\,y(x)=x^{2}\cdot\frac{\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x}=x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y(x), porque
\bigl(x^{2}y(x)\bigr)'=x^{2}y'(x)+2x\,y(x).
Logo a equação reescreve-se como
\bigl(x^{2}y(x)\bigr)'=x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{2}y(x)=\int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora falta calcular a integral \displaystyle\int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 7

Calcular a integral por substituição. Faça u=x^{2}. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}. Substituindo na integral:
\int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\int \sin(u)\,\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du=-\frac{1}{2}\cos(u)+\text{const}.
Voltando a x:
\int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=-\frac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)+\text{const}.
Inserindo esse resultado em x^{2}y(x)= integral +C, podemos absorver constantes e escrever:
x^{2}y(x)=-\frac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)+C,
onde C é a constante de integração (já inclui qualquer constante adicionada pela integral).

Passo 8

Isolar y(x). Dividindo por x^{2} (novamente x>0 garante validade):
y(x)=\frac{C}{x^{2}}-\frac{1}{2}\,\frac{\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}.
Esta é a solução geral da equação diferencial, com C\in\mathbb{R}. Podemos também escrever de forma compacta:
y(x)=\frac{C}{x^{2}}-\frac{\cos(x^{2})}{2x^{2}}.

Passo 9

Agora aplicar a condição inicial y(\sqrt{\pi})=0 para determinar C. Substituindo x=\sqrt{\pi} na solução geral:
0=y(\sqrt{\pi})=\frac{C}{(\sqrt{\pi})^{2}}-\frac{1}{2}\,\frac{\cos\!\bigl((\sqrt{\pi})^{2}\bigr)}{(\sqrt{\pi})^{2}}.
Calcular os termos:
(\sqrt{\pi})^{2}=\pi,\qquad \cos\!\bigl(\pi\bigr)=-1.
Assim
0=\frac{C}{\pi}-\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\pi}=\frac{C}{\pi}+\frac{1}{2\pi}.
Multiplicando por \pi:
0=C+\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{2}.

Passo 10

Substituir C=-\dfrac{1}{2} na solução geral para obter a solução do problema de valor inicial:
y(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}\bigl(1+\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\bigr),
válida para x>0.

Resposta

y(x)=\dfrac{C}{x^{2}}-\dfrac{\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)}{2x^{2}},\quad C\in\mathbb{R},\\ x>0.
y(x)=-\dfrac{1}{2x^{2}}\bigl(1+\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\bigr),\quad x>0.

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