Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{(t+1)^{2}}{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{(t+1)^{2}}{t^{2}}\,dt.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é t.
  • A expressão \frac{(t+1)^{2}}{t^{2}} está definida para t\neq 0; portanto a antiderivada será válida em intervalos onde t não muda de sinal.
  • O objetivo é encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=\dfrac{(t+1)^{2}}{t^{2}}, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo termo a termo. Expande-se o quadrado no numerador:
(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1.
Substituindo no integrando:
\frac{(t+1)^{2}}{t^{2}}=\frac{t^{2}+2t+1}{t^{2}}.

Passo 3

Dividindo cada termo por t^{2} obtemos termos simples que são fáceis de integrar:
\frac{t^{2}+2t+1}{t^{2}}=\frac{t^{2}}{t^{2}}+\frac{2t}{t^{2}}+\frac{1}{t^{2}}=1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^{2}}.
Portanto a integral se transforma em soma de integrais mais simples:
\int \frac{(t+1)^{2}}{t^{2}}\,dt=\int\left(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt.

Passo 4

Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair):
\int\left(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt=\int 1\,dt+2\int\frac{1}{t}\,dt+\int\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Agora integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dt=t, porque a derivada de t é 1.
  • \displaystyle \int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|. Aqui aparece o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; assim \ln|t| funciona tanto para t>0 quanto para t<0.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}}\,dt, escrevemos \frac{1}{t^{2}}=t^{-2} e usamos a regra de potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=-2:
\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-1}}{-1}=-t^{-1}=-\frac{1}{t}.

Passo 5

Juntando os resultados dos termos e incluindo a constante de integração C:
\int \frac{(t+1)^{2}}{t^{2}}\,dt = t + 2\ln|t| - \frac{1}{t} + C.
Essa é a família de antiderivadas válida para t\neq 0.

Resposta

t+2\ln|t|-\dfrac{1}{t}+C

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