Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - A expressão
está definida para ; portanto a antiderivada será válida em intervalos onde não muda de sinal. - O objetivo é encontrar uma função
tal que , mais uma constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo termo a termo. Expande-se o quadrado no numerador:
Substituindo no integrando:
Passo 3
Dividindo cada termo por
obtemos termos simples que são fáceis de integrar:
Portanto a integral se transforma em soma de integrais mais simples:
Passo 4
Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair):
Agora integramos termo a termo:
-
, porque a derivada de é 1. -
. Aqui aparece o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; assim funciona tanto para quanto para . - Para
, escrevemos e usamos a regra de potência: para ,
Aplicando com
:
Passo 5
Juntando os resultados dos termos e incluindo a constante de integração
:
Essa é a família de antiderivadas válida para
.