Questão 2 (2 pontos): Determine a única função
, que satisfaça as condições:
a)
e
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a única função
, com
, que satisfaz as condições
-
, -
.
Informações relevantes dadas:
- Uma equação diferencial de primeira ordem relacionando a derivada de
com (a equação diferencial é ). - Uma condição inicial
que permite encontrar a constante de integração e selecionar a solução única que passa por esse ponto.
Passo 2
Comentário sobre o método (por que este caminho): a equação
é simples e permite isolar os termos em
de um lado e os termos em
do outro — isso se chama separação de variáveis. Separação de variáveis consiste em reescrever a equação de modo que todas as ocorrências de
(e
) fiquem num lado e todas as de
(e
) no outro, para então integrar ambos os lados. É o método mais direto aqui.
Passo 3
Separar variáveis. Partindo de
assumindo momentaneamente
(a solução constante
também existe, mas não satisfaz
), divide-se por
e multiplica-se por
:
Isto coloca todos os termos em
no lado esquerdo e todos os termos em
no lado direito.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Aplicando integrais indefinidas:
Lembrando que
e
. Podemos combinar as constantes de integração em uma só constante
. Assim obtemos
onde
é uma constante real.
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
, temos
, o que implica
. Para permitir a possibilidade
também com uma constante, é comum escrever a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser zero, positiva ou negativa).
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Como
pelo enunciado, segue que
. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (confirmação da solução): calcular a derivada
logo a equação diferencial é satisfeita. E
, logo a condição inicial também é satisfeita.
Passo 8
Observação sobre unicidade: a função do lado direito da equação
é contínua em
e satisfaz condições de Lipschitz em qualquer intervalo, então a solução do problema de valor inicial é única — por isso falamos em “a única função” pedida.