Questão 2 (2 pontos): Determine a única função y=y(x), x \in \mathbb{R}, que satisfaça as condições:
a) \frac{d y}{d x}=3 y e y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a única função y=y(x), com x\in\mathbb{R}, que satisfaz as condições
  • \dfrac{dy}{dx}=3y,
  • y(0)=2.
Informações relevantes dadas:
  • Uma equação diferencial de primeira ordem relacionando a derivada de y com y (a equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=3y).
  • Uma condição inicial y(0)=2 que permite encontrar a constante de integração e selecionar a solução única que passa por esse ponto.

Passo 2

Comentário sobre o método (por que este caminho): a equação \dfrac{dy}{dx}=3y é simples e permite isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro — isso se chama separação de variáveis. Separação de variáveis consiste em reescrever a equação de modo que todas as ocorrências de y (e dy) fiquem num lado e todas as de x (e dx) no outro, para então integrar ambos os lados. É o método mais direto aqui.

Passo 3

Separar variáveis. Partindo de
\frac{dy}{dx}=3y,
assumindo momentaneamente y\neq 0 (a solução constante y\equiv 0 também existe, mas não satisfaz y(0)=2), divide-se por y e multiplica-se por dx:
\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx.
Isto coloca todos os termos em y no lado esquerdo e todos os termos em x no lado direito.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Aplicando integrais indefinidas:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx.
Lembrando que \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1 e \int 3\,dx = 3x + C_2. Podemos combinar as constantes de integração em uma só constante C. Assim obtemos
\ln|y| = 3x + C,
onde C é uma constante real.

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{3x+C} = e^{C} e^{3x}.
Definindo A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{3x}, o que implica y = \pm A e^{3x}. Para permitir a possibilidade y=0 também com uma constante, é comum escrever a solução geral como
y(x) = K e^{3x},
onde K é uma constante real arbitrária (pode ser zero, positiva ou negativa).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=K e^{0}=K.
Como y(0)=2 pelo enunciado, segue que K=2. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=2e^{3x}.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação da solução): calcular a derivada
\frac{dy}{dx} = 2\cdot 3 e^{3x} = 3\bigl(2e^{3x}\bigr) = 3y,
logo a equação diferencial é satisfeita. E y(0)=2e^{0}=2, logo a condição inicial também é satisfeita.

Passo 8

Observação sobre unicidade: a função do lado direito da equação f(x,y)=3y é contínua em y e satisfaz condições de Lipschitz em qualquer intervalo, então a solução do problema de valor inicial é única — por isso falamos em “a única função” pedida.

Resposta

y(x)=2e^{3x}

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