Questão 1 (2 pontos): Seja
, derivável até a
ordem e tal que, para todo
, satisfaça:
. Considere a função
definida por
Prove que
é constante.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações claras:
-
é duas vezes diferenciável. - Para todo
vale a equação diferencial
- A função
é definida por
A tarefa é provar que
é constante (ou seja, que não depende de
).
Passo 2
Ideia do método (explicando por que escolho este caminho): a maneira mais direta é calcular a derivada
e mostrar que ela é zero para todo
. Se uma função tem derivada identicamente zero em um intervalo (aqui em
), então essa função é constante nesse intervalo. Vou fazer isso passo a passo, usando regras de derivação elementares (regra do produto e regra da cadeia).
Passo 3
Lembrete rápido das regras de derivação que vou usar (com explicação simples):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
Isto significa que ao derivar um produto multiplicamos pela derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da cadeia (caso simples): se
então
porque a derivada de
em relação a
é
e depois multiplica-se pela derivada interna
. Analogamente,
Vou aplicar essas regras termo a termo em
.
Passo 4
Derivar o primeiro termo
. Aplicando a constante
fora e a regra do produto a
:
Simplificando:
Passo 5
Derivar o segundo termo
. Trata-se do produto de
por
. Aplicando a regra do produto:
Ou seja,
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos para obter
:
Os termos com
se cancelam, restando
Passo 7
Agora uso a informação dada no enunciado: para todo
vale
. Substituindo na expressão acima:
para todo
.
Passo 8
Conclusão: como
para todo
em
, segue que
é constante em
. Em linguagem prática, existe uma constante
tal que, para todo
,
(Se quiser, pode tomar
ou qualquer outro valor inicial.)