Questão 1 (2 pontos): Seja y=f(x), x \in \mathbb{R}, derivável até a 2 .^{\mathrm{a}} ordem e tal que, para todo x, satisfaça: f^{\prime \prime}(x)+9 f(x)=0. Considere a função g definida por g(x)=3 f(x) \cos (3 x)-f^{\prime}(x) \sin (3 x) Prove que g(x) é constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações claras:
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável.
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale a equação diferencial
f''(x)+9f(x)=0.
  • A função g é definida por
g(x)=3f(x)\cos(3x)-f'(x)\sin(3x).
A tarefa é provar que g(x) é constante (ou seja, que não depende de x).

Passo 2

Ideia do método (explicando por que escolho este caminho): a maneira mais direta é calcular a derivada g'(x) e mostrar que ela é zero para todo x. Se uma função tem derivada identicamente zero em um intervalo (aqui em \mathbb{R}), então essa função é constante nesse intervalo. Vou fazer isso passo a passo, usando regras de derivação elementares (regra do produto e regra da cadeia).

Passo 3

Lembrete rápido das regras de derivação que vou usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Isto significa que ao derivar um produto multiplicamos pela derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Regra da cadeia (caso simples): se h(x)=\sin(3x) então
h'(x)=\cos(3x)\cdot(3)=3\cos(3x),
porque a derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t) e depois multiplica-se pela derivada interna 3. Analogamente,
\frac{d}{dx}\cos(3x) = -3\sin(3x).
Vou aplicar essas regras termo a termo em g(x).

Passo 4

Derivar o primeiro termo 3f(x)\cos(3x). Aplicando a constante 3 fora e a regra do produto a f(x)\cos(3x):
\frac{d}{dx}\big(3f(x)\cos(3x)\big) =3\big( f'(x)\cos(3x) + f(x)\cdot(-3\sin(3x))\big).
Simplificando:
\frac{d}{dx}\big(3f(x)\cos(3x)\big) =3f'(x)\cos(3x)-9f(x)\sin(3x).

Passo 5

Derivar o segundo termo -f'(x)\sin(3x). Trata-se do produto de -f'(x) por \sin(3x). Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(-f'(x)\sin(3x)\big) = -\big( f''(x)\sin(3x) + f'(x)\cdot 3\cos(3x)\big).
Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(-f'(x)\sin(3x)\big) = -f''(x)\sin(3x) -3f'(x)\cos(3x).

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos para obter g'(x):
\begin{aligned} g'(x) &= \big(3f'(x)\cos(3x)-9f(x)\sin(3x)\big) + \big(-f''(x)\sin(3x) -3f'(x)\cos(3x)\big)\\[4pt] &= \big(3f'(x)\cos(3x)-3f'(x)\cos(3x)\big) + \big(-9f(x)\sin(3x)-f''(x)\sin(3x)\big). \end{aligned}
Os termos com f'(x)\cos(3x) se cancelam, restando
g'(x)= -\big(f''(x)+9f(x)\big)\sin(3x).]

Passo 7

Agora uso a informação dada no enunciado: para todo x vale \;f''(x)+9f(x)=0. Substituindo na expressão acima:
g'(x) = -\big(0\big)\sin(3x)=0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Conclusão: como g'(x)=0 para todo x em \mathbb{R}, segue que g é constante em \mathbb{R}. Em linguagem prática, existe uma constante C tal que, para todo x,
g(x)=C.
(Se quiser, pode tomar C=g(0) ou qualquer outro valor inicial.)

Resposta

g(x) é constante.

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