Questão 3. (2 pontos)
a) Encontre a expansão em série de Fourier para a função
b) Dando um valor conveniente a para
(função do item a) restrita ao intervalo
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) a série de Fourier completa de , a soma da série ;
c) o desenvolvimento em série de Fourier–seno de em
.
Para isso vamos usar que é ímpar, de modo que só aparecem termos em seno, e calcular os coeficientes
a) a série de Fourier completa de , a soma da série
c) o desenvolvimento em série de Fourier–seno de
Para isso vamos usar que
Passo 2
Verificamos a paridade de
. Para
temos
portanto
é ímpar e todos os coeficientes de cosseno
e
são zero. Logo
Passo 3
Calculamos
Separe em duas integrais:
Logo
Portanto
Assim
Passo 4
Para achar
, escolhemos
na expansão de
. Temos
e também
Como
é
para
, o somatório reduz-se a
Igualando a
obtém-se
, ou seja
Passo 5
O desenvolvimento em série de Fourier–seno de
em
é exatamente a mesma que vimos, pois fizemos a expansão ímpar. Logo
Resposta
a)
b)
c) em
.
b)
c)