Questão 3. (2 pontos)
a) Encontre a expansão em série de Fourier para a função
b) Dando um valor conveniente a para (função do item a) restrita ao intervalo .

Passo 1

O enunciado define a função
e pede:
a) a série de Fourier completa de , a soma da série ;
c) o desenvolvimento em série de Fourier–seno de em .
Para isso vamos usar que é ímpar, de modo que só aparecem termos em seno, e calcular os coeficientes

Passo 2

Verificamos a paridade de f. Para x>0 temos
f(-x)=-(-x)-pi = x-pi = -l(pi - xr) = -,f(x),
portanto f é ímpar e todos os coeficientes de cosseno an e a0 são zero. Logo
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx)

Passo 3

Calculamos
bn =2piintegral0^pi(pi - x)sin(nx),dx
Separe em duas integrais:
integral0^pipisin(nx),dx =pi1-(-1)^nn,
integral0^pixsin(nx),dx =l[-xcos(nx)n+sin(nx)n^2r]0^pi =-pi(-1)^nn
Logo
integral0^pi(pi - x)sin(nx),dx =pil(1-(-1)^nr)n - l(-pi(-1)^nnr) =pin
Portanto
bn=2pi,pin=2n forall,n>=1
Assim
boxedf(x)=sumn=1^infty2n,sin(nx)

Passo 4

Para achar
S=summ=1^infty(-1)^m+12m-1, escolhemos x=pi2 na expansão de f. Temos
f!l(tfracpi2r) =-tfracpi2+pi =tfracpi2,
e também
f!l(tfracpi2r) =sumn=1^infty2nsin!l(npi2r) =2sumn=1^inftysinl(npi2r)n
Como sinl(npi2r) é 1,0,-1,0,dots para n=1,2,3,4,dots, o somatório reduz-se a
2l(1-tfrac13+tfrac15-tfrac17+cdotsr) =2S
Igualando a tfracpi2 obtém-se 2S=tfracpi2, ou seja
boxedS=pi4

Passo 5

O desenvolvimento em série de Fourier–seno de f(x)=-x+pi em 0<x<pi é exatamente a mesma que vimos, pois fizemos a expansão ímpar. Logo
boxedf(x)=-x+pi =summ=1^infty2m,sin(mx), 0<x<pi

Resposta

a) f(x)=sumn=1^infty2nsin(nx)
b) summ=1^infty(-1)^m+12m-1=pi4
c) -x+pi=summ=1^infty2msin(mx) em (0,pi).

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