Extra (1pt) Exiba a reta que é tangente ao gráfico de y=x^3 e que contém o ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de y=x^3 que passe pelo ponto (0,1). Vamos usar o conceito de derivada para obter a inclinação da reta num ponto genérico x=a e depois impor que essa reta contenha (0,1).

Passo 2

Seja a a abscissa do ponto de tangência. A derivada de y=x^3 é
f'(x)=3x^2,
logo a inclinação da reta em x=a é m=3a^2. A equação ponto-inclinação da reta tangente em (a,a^3) é
y - a^3 = 3a^2,(x - a)

Passo 3

Para que essa reta passe por (0,1), substituímos x=0, y=1 na equação:
1 - a^3 = 3a^2,(0 - a) = -3a^3
Isso dá a condição
1 - a^3 = -3a^3 Longrightarrow 1 = -2a^3 Longrightarrow a^3 = -tfrac12

Passo 4

Daí
a = -raiz[3]tfrac12 = -2^-1/3

Passo 5

A inclinação correspondente vale
m = 3a^2 = 3l(2^-1/3r)^2 = 32^2/3 = 3raiz[3]4

Passo 6

A reta tangente é
y - a^3 = m,(x - a),
com a^3=-tfrac12 e m=3/2^2/3. Substituindo e simplificando,
y + tfrac12 = 32^2/3l(x + 2^-1/3r) Longrightarrow y = 32^2/3,x + 1

Resposta

A reta é
y = 3raiz[3]4,x + 1

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