Questão 5) (4 pontos) Uma lâmpada de vapor de sódio é colocada no centro de uma casca esférica que absorve toda a energia que chega até ela. A lâmpada tem unta potênoria de 100 W ; suponha que toda a luz seja emitida com um comprimento de onda de 590 nm . Quantos fótons são absorvidos pela casca esférica por segundo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Potência da lâmpada: P = 100\\ \text{W}. (Recordando: 1\\ \text{W} = 1\\ \text{J/s}.)
  • Todo o fluxo é emitido com comprimento de onda \lambda = 590\\ \text{nm}.
  • A casca absorve toda a energia que chega — ou seja, toda a potência emitida é absorvida.
  • Pergunta: Quantos fótons são absorvidos pela casca esférica por segundo?

Passo 2

Ideia básica (intuição): a lâmpada entrega P joules por segundo. Cada fóton tem uma certa energia E_{\text{fóton}}ó. Se cada segundo chega P joules, o número de fótons por segundo N é a razão entre a energia total por segundo e a energia de cada fóton:
N=\frac{P}{E_{\text{fóton}}}.ó
Aqui N tem unidade de fótons/s porque P está em J/s e E_{\text{fóton}}ó em J.

Passo 3

Fórmula da energia de um fóton: a energia de um único fóton de luz monocromática é dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda},ó
onde:
  • h é a constante de Planck, h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J s};
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m/s};
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
Explicação curta: h relaciona frequência e energia via E=h\nu, e \nu = c/\lambda relaciona frequência e comprimento de onda; combinando vem E=h c/\lambda.

Passo 4

Converter o comprimento de onda para metros (porque h e c estão em unidades SI):
\lambda = 590\\ \text{nm} = 590\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}90\times10^{-7}\\ \text{m}.
Calcular E_{\text{fóton}}ó. Primeiro, é útil conhecer o produto h c:
h c = \left(6{,}62607015\times10^{-34}\right)\left(2{,}99792458\times10^{8}\right) = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \text{J m}.
Agora:
E_{\text{fóton}} = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{5{,}90\times10^{-7}} = 3{,}366\ldots\times10^{-19}\\ \text{J}.ó
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
E_{\text{fóton}}\approx 3{,}37\times10^{-19}\\ \text{J}.ó

Passo 5

Calcular o número de fótons por segundo usando N=P/E_{\text{fóton}}ó:
N = \frac{100\\ \text{J/s}}{3{,}366\times10^{-19}\\ \text{J}} \approx 2{,}97\times10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Passo a passo da divisão de potências de dez (se ajudar na prova): dividir 100 por 3{,}366 dá aproximadamente 29{,}7; como 100=1{,}00\times10^{2} e 3{,}366\times10^{-19} já tem 10^{-19}, o resultado fica 29{,}7\times10^{18} = 2{,}97\times10^{19+1}=2{,}97\times10^{20}.

Passo 6

Verificação rápida de unidades: E_{\text{fóton}}ó está em joules, P em joules por segundo, logo P/E_{\text{fóton}}ó dá fótons por segundo — unidades corretas. O valor faz sentido numericamente: energia de cada fóton é muito pequena, portanto muitos fótons por segundo para uma potência de 100\\ \text{W}.

Resposta

2{,}97\times10^{20}\\ \text{fótons/s}ó

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