Questão 3 ) ( 4 pontos) (a) (1 pontos) Que potencial de aceleração é necessário para produzir elétrons com comprimentos de onda de
? (b) (1 pontes) Qual seria a energia dos fótons com o mesmo comprimento de onda desses elétrons? (c) (2 pontos) Qual seria o comprimento de onda dos fótons que possuem a mesma energia dos elétrons no item (a)?
Passo 1
O enunciado pede três coisas usando elétrons e fótons com comprimento de onda
:
- (a) Qual potencial de aceleração
(em volts) é necessário para produzir elétrons cuja onda de De Broglie tenha . - (b) Qual a energia dos fótons que têm o mesmo comprimento de onda
. - (c) Qual o comprimento de onda dos fótons que possuem a mesma energia que os elétrons do item (a).
Dados numéricos que usarei (valores padrão do SI):
e o comprimento de onda dado
Passo 2
Explicando a física e as fórmulas que vou usar (devagar e passo a passo).
- Elétrons acelerados por um potencial
ganham energia cinética igual a (em joules): isto é, a energia cinética não-relativística do elétron é
Aqui
é a energia cinética (J),
é a massa do elétron (kg),
é a velocidade (m/s),
é a carga elementar (C) e
o potencial (V). Esta relação vale porque energia em eV é simplesmente carga vezes potencial.
- A relação de De Broglie liga comprimento de onda
ao momento linear :
Para uma partícula não-relativística
. Substituindo
obtemos
Dessa última equação podemos isolar
para o item (a):
- Para fótons a energia é dada por
Aqui
está em joules se
e
estiverem em unidades SI e
em metros. Para converter joules para elétron-volts divide-se por
.
- Para o item (c): se um fóton tem energia igual à energia cinética do elétron
, seu comprimento de onda será
Passo 3
Vou calcular
usando a fórmula
Substituindo os números (tudo em SI):
Calculando o denominador com
:
Agora
Convertendo para unidades mais amigáveis:
Observação física rápida: esse valor pequeno (algumas dezenas de mV) é razoável porque um elétron com comprimento de onda de alguns nanômetros tem momento pequeno e, portanto, energia cinética pequena.
Passo 4
Usando
substituo os valores:
Então
Convertendo para elétron-volt:
Interpretação curta: um fóton com
tem energia da ordem de centenas de eV (raio X/ultravioleta extremo), muito maior que a energia cinética do elétron do item (a).
Passo 5
A energia do elétron acelerado é
. Usei
no Passo 3, então
O comprimento de onda do fóton com essa energia é
Convertendo:
Comentário físico final (motivacional): repare que um elétron com
tem energia muito pequena (
), enquanto um fóton com
tem energia muito maior (
). Por isso, o fóton que tem a mesma energia do elétron de (a) tem comprimento de onda muito maior (
), porque energia de fóton e comprimento de onda estão inversamente relacionados.
Resposta
(a)
\quad (
)
(b)
(c)
(b)
(c)