Questão 3 ) ( 4 pontos) (a) (1 pontos) Que potencial de aceleração é necessário para produzir elétrons com comprimentos de onda de 5,00 \mathrm{~nm} ? (b) (1 pontes) Qual seria a energia dos fótons com o mesmo comprimento de onda desses elétrons? (c) (2 pontos) Qual seria o comprimento de onda dos fótons que possuem a mesma energia dos elétrons no item (a)?

Passo 1

O enunciado pede três coisas usando elétrons e fótons com comprimento de onda \,5{,}00\\ \mathrm{nm}\,:
  • (a) Qual potencial de aceleração V (em volts) é necessário para produzir elétrons cuja onda de De Broglie tenha \lambda=5{,}00\\ \mathrm{nm}.
  • (b) Qual a energia dos fótons que têm o mesmo comprimento de onda \lambda=5{,}00\\ \mathrm{nm}.
  • (c) Qual o comprimento de onda dos fótons que possuem a mesma energia que os elétrons do item (a).
Dados numéricos que usarei (valores padrão do SI):
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
e o comprimento de onda dado
\lambda=5{,}00\\ \mathrm{nm}=5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explicando a física e as fórmulas que vou usar (devagar e passo a passo).
  1. Elétrons acelerados por um potencial V ganham energia cinética igual a eV (em joules): isto é, a energia cinética não-relativística do elétron é
K=\tfrac{1}{2}m_e v^2 = eV.
Aqui K é a energia cinética (J), m_e é a massa do elétron (kg), v é a velocidade (m/s), e é a carga elementar (C) e V o potencial (V). Esta relação vale porque energia em eV é simplesmente carga vezes potencial.
  1. A relação de De Broglie liga comprimento de onda \lambda ao momento linear p:
\lambda=\frac{h}{p}.
Para uma partícula não-relativística p=m_e v. Substituindo p=\sqrt{2 m_e K}=\sqrt{2 m_e e V} obtemos
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}.
Dessa última equação podemos isolar V para o item (a):
V=\frac{h^2}{2 m_e e \lambda^2}.
  1. Para fótons a energia é dada por
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda}.ó
Aqui E_{\text{fóton}}ó está em joules se h e c estiverem em unidades SI e \lambda em metros. Para converter joules para elétron-volts divide-se por e.
  1. Para o item (c): se um fóton tem energia igual à energia cinética do elétron K=eV, seu comprimento de onda será
\lambda'=\frac{h c}{K}=\frac{h c}{eV}.

Passo 3

Vou calcular V usando a fórmula
V=\frac{h^2}{2 m_e e \lambda^2}.
Substituindo os números (tudo em SI):
\lambda=5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
h^2=(6{,}62607015\times10^{-34})^2 \approx 4{,}39048\times10^{-67}\\ \mathrm{J^2\cdot s^2},
2 m_e e =2\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(1{,}602176634\times10^{-19}) \approx 2{,}9189686\times10^{-49}\\ \mathrm{kg\cdot C}.
Calculando o denominador com \lambda^2:
2 m_e e \lambda^2 \approx 2{,}9189686\times10^{-49}\times(5{,}00\times10^{-9})^2 =2{,}9189686\times10^{-49}\times2{,}5\times10^{-17} \approx 7{,}2974215\times10^{-66}.
Agora
V=\frac{4{,}39048\times10^{-67}}{7{,}2974215\times10^{-66}}\approx 6{,}0164\times10^{-2}\\ \mathrm{V}.
Convertendo para unidades mais amigáveis:
V\approx 0{,}06016\\ \mathrm{V}=60{,}16\\ \mathrm{mV}.
Observação física rápida: esse valor pequeno (algumas dezenas de mV) é razoável porque um elétron com comprimento de onda de alguns nanômetros tem momento pequeno e, portanto, energia cinética pequena.

Passo 4

Usando
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda},ó
substituo os valores:
h c \approx 6{,}62607015\times10^{-34}\times2{,}99792458\times10^{8} =1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Então
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{5{,}00\times10^{-9}} =3{,}97289172\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.ó
Convertendo para elétron-volt:
E_{\text{fóton}}(\mathrm{eV})=\frac{3{,}97289172\times10^{-17}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx 2{,}478\times10^{2}\\ \mathrm{eV}=247{,}8\\ \mathrm{eV}.ó
Interpretação curta: um fóton com \lambda=5{,}00\\ \mathrm{nm} tem energia da ordem de centenas de eV (raio X/ultravioleta extremo), muito maior que a energia cinética do elétron do item (a).

Passo 5

A energia do elétron acelerado é K=eV. Usei V\approx6{,}0164\times10^{-2}\\ \mathrm{V} no Passo 3, então
K=eV \approx 1{,}602176634\times10^{-19}\times6{,}0164\times10^{-2} \approx 9{,}637\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
O comprimento de onda do fóton com essa energia é
\lambda'=\frac{h c}{K}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{9{,}637\times10^{-21}} \approx 2{,}061\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Convertendo:
\lambda'\approx 2{,}061\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=20{,}61\\ \mu\mathrm{m}.
Comentário físico final (motivacional): repare que um elétron com \lambda=5\\ \mathrm{nm} tem energia muito pequena ( \sim0{,}06\\ \mathrm{eV}), enquanto um fóton com \lambda=5\\ \mathrm{nm} tem energia muito maior ( \sim248\\ \mathrm{eV}). Por isso, o fóton que tem a mesma energia do elétron de (a) tem comprimento de onda muito maior ( \sim 20{,}6\\ \mu\mathrm{m}), porque energia de fóton e comprimento de onda estão inversamente relacionados.

Resposta

(a) V\approx 6{,}02\times10^{-2}\\ \mathrm{V} \quad ( 60{,}2\\ \mathrm{mV})
(b) E_{\text{fóton}} \approx 3{,}97\times10^{-17}\\ \mathrm{J} = 2{,}48\times10^{2}\\ \mathrm{eV}ó
(c) \lambda' \approx 2{,}06\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 20{,}6\\ \mu\mathrm{m}

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