e pede para mostrar que T é injetora e sobrejetora. Vamos usar o cálculo do núcleo para injetividade e, em seguida, o teorema da dimensão para concluir sobrejetividade.
Passo 2
Para ver que T\) é injetora, estudamos o núcleo, i.e.\ resolvemos
\[T(x,y,z,t)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} y + z + 2t = 0,\\\ x + y - z = 0,\\\ x + 2y + t = 0,\\\ y + 2z + 3t = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=-z-2t\]. Substituindo na segunda,
\[x = -\,y + z = -(-z-2t)+z = 2z + 2t.\]
Agora a terceira fica
\[(2z+2t) + 2(-z-2t) + t = 2z+2t -2z -4t + t = -t = 0 \;\implies\; t=0.\]
Com \(t=0 e y=-z, a quarta equação dá
y + 2z + 3t = -z + 2z + 0 = z = 0 \;\implies\; z=0,\;y=0,\;x=0.
Logo o único vetor do núcleo é (0,0,0,0), e assim T é injetora.
Passo 3
Como \dim(\mathbb{R}^{4})=4 e \dim(M_{2\times2})=4, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
\dim(\ker T) + \dim(\mathrm{Im}\,T) = 4.
Já vimos que \dim(\ker T)=0, logo \dim(\mathrm{Im}\,T)=4. Mas a imagem de T é subespaço de M_{2\times2} de dimensão 4, portanto é igual a todo M_{2\times2}. Assim T é sobrejetora.