Questão 4: (2 pontos)
Mostre que a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M_{2 \times 2} tal que
T(x, y, z, t)=\left(\begin{array}{cc} y+z+2 t & x+y-z \\\ x+2 y+t & y+2 z+3 t \end{array}\right)
é injetora e sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to M_{2\times2}
por
T(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} y+z+2t & x+y-z\\\ x+2y+t & y+2z+3t \end{pmatrix},
e pede para mostrar que T é injetora e sobrejetora. Vamos usar o cálculo do núcleo para injetividade e, em seguida, o teorema da dimensão para concluir sobrejetividade.

Passo 2

Para ver que T\) é injetora, estudamos o núcleo, i.e.\ resolvemos \[T(x,y,z,t)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} y + z + 2t = 0,\\\ x + y - z = 0,\\\ x + 2y + t = 0,\\\ y + 2z + 3t = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=-z-2t\]. Substituindo na segunda, \[x = -\,y + z = -(-z-2t)+z = 2z + 2t.\] Agora a terceira fica \[(2z+2t) + 2(-z-2t) + t = 2z+2t -2z -4t + t = -t = 0 \;\implies\; t=0.\] Com \(t=0 e y=-z, a quarta equação dá
y + 2z + 3t = -z + 2z + 0 = z = 0 \;\implies\; z=0,\;y=0,\;x=0.
Logo o único vetor do núcleo é (0,0,0,0), e assim T é injetora.

Passo 3

Como \dim(\mathbb{R}^{4})=4 e \dim(M_{2\times2})=4, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
\dim(\ker T) + \dim(\mathrm{Im}\,T) = 4.
Já vimos que \dim(\ker T)=0, logo \dim(\mathrm{Im}\,T)=4. Mas a imagem de T é subespaço de M_{2\times2} de dimensão 4, portanto é igual a todo M_{2\times2}. Assim T é sobrejetora.

Resposta

T é injetora e sobrejetora.

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