Questão 3: (2 pontos)
Determine se o conjunto S=\{(1,1,1),(1,2,3),(0,1,2)\} gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{(1,1,1),\,(1,2,3),\,(0,1,2)\}
gera \mathbb{R}^{3}. Ou seja, queremos saber se qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.

Passo 2

Suponha que exista escalares a,b,c tais que
a\,(1,1,1) \;+\; b\,(1,2,3) \;+\; c\,(0,1,2) \;=\;(x,y,z).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} a + b &= x,\\\ a + 2b + c &= y,\\\ a + 3b + 2c &= z. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem a = x - b. Substituindo na segunda:
(x - b) + 2b + c = y \quad\Longrightarrow\quad x + b + c = y \quad\Longrightarrow\quad c = y - x - b.
Agora use essas expressões na terceira equação:
(x - b) + 3b + 2(y - x - b) = z \quad\Longrightarrow\quad x - b + 3b + 2y - 2x - 2b = z \quad\Longrightarrow\quad - x + 2y = z.

Passo 4

A última equação mostra que só existe solução se
z = -\,x + 2\,y.
Logo o span de S é o conjunto dos vetores (x,y,z) que satisfazem z + x - 2y = 0, um plano próprio em \mathbb{R}^3. Portanto S não gera todo \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto S não gera \mathbb{R}^{3}.

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