Questão 4 (2,5 pontos)

Na representação de Heisenberg, os operadores evoluem ao longo do tempo e os estados são estáticos. Nesta representação da mecância quântica, o operador hermitiano Hamiltoniano que descreve um oscilador harmônico simples unidimensional de frequência omega é dado por
H=hbar omega(a^dag>=r(t) a(t)+12), [a(t), a^dag>=r(t)]=1
O espectro de energia é En=hbar omega(n+1 / 2), n=0,1,2, ldots, e seus respectivos autoestados de energia (normalizados) são dados por |nrang<=. No instante t=0 os operadores a(t) e a^dag>=r(t) atuam da seguinte forma: a(0)|nrang<==raizn|n-1rang<= e a^dag>=r(0)|nrang<==raizn+1|n+1rang<=. Suponha que o sistema seja descrito pelo famoso estado coerente |lambdarang<=, caracterizado pela equação
a(0)|lambdarang<==lambda|lambdarang<=, lang<=lambda mid lambdarang<==1, lambda=|lambda| e^-i theta in C
(a) Determine o operador a(t) para todo t >= 0 em termos da condição inicial a(0). Também calcule o valor médio da energia do sistema no estado coerente.
(b) Determine os valores médios da posição x(t) e do momento p(t) para t >= 0 no caso do estado coerente, onde x(t)=raizhbar2 m omega(a^dag>=r(t)+a(t)) e p(t)=i raizhbar m omega2(a^dag>=r(t)-a(t)). Compare o resultado com a evolução de um oscilador clássico.
(c) Demonstre que para o oscilador harmônico o valor médio da posição evolui, independente do estado, exatamente como a coordenada x(t) do oscilador harmônico clássico para alguma condição inicial. Quais são as condições iniciais associadas a um autoestado de energia |nrang<= e ao estado coerente |lambdarang<= ?
Dica: A evolução temporal de um operador O, sem dependência explícita no tempo, é dada pela equação de Heinsenberg
d Od t=ihbar[H, O]

Passo 1

Resumindo, estamos na representação de Heisenberg, com
e queremos:
  1. Determinar a partir de e calcular em .
  2. Calcular e em e comparar com o oscilador clássico.
  3. Mostrar que satisfaz a equação de um oscilador clássico e achar as condições iniciais para e .
    Para isso usamos a equação de Heisenberg

Passo 2

Aplicamos
dhat adt=ihbar[hat H,hat a]
com hat H=hbaromega(hat a^dag>=rhat a+1/2). Como
[hat a^dag>=rhat a,hat a]=-hat a, obtemos
dhat adt=-iomega,hat a,
cuja solução com hat a(0) é
hat a(t)=hat a(0),e^-iomega t

Passo 3

O valor médio da energia em é
pois .

Passo 4

Escrevendo
hat x(t)=raizhbar2momegal(hat a^dag>=r(t)+hat a(t)r), hat p(t)=iraizhbar momega2l(hat a^dag>=r(t)-hat a(t)r),
e usando lang<=hat a(0)rang<==lambda=|lambda|e^-itheta, achamos
lang<= x(t)rang<= =raiz2hbarmomega,|lambda|cos(omega t+theta),
lang<= p(t)rang<= =-raiz2hbar momega,|lambda|sin(omega t+theta)
Isso é idêntico à solução clássica
xrm cl(t)=Acos(omega t+theta), prm cl(t)=-momega Asin(omega t+theta),
com A=raiztfrac2hbarmomega,|lambda|.

Passo 5

De modo geral, de Heisenberg para vem
que é a equação do oscilador clássico. As condições iniciais são
e .
Para o autoestado : , logo

Para o coerente :

Resposta

(a) , .
(b) ,
, em perfeita concordância com o oscilador clássico.
(c) De modo geral satisfaz . Para : . Para :
.

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