Questão 4 (2,5 pontos)
Na representação de Heisenberg, os operadores evoluem ao longo do tempo e os estados são estáticos. Nesta representação da mecância quântica, o operador hermitiano Hamiltoniano que descreve um oscilador harmônico simples unidimensional de frequência
é dado por
O espectro de energia é
, e seus respectivos autoestados de energia (normalizados) são dados por
. No instante
os operadores
e
atuam da seguinte forma:
e
. Suponha que o sistema seja descrito pelo famoso estado coerente
, caracterizado pela equação
(a) Determine o operador
para todo
em termos da condição inicial
. Também calcule o valor médio da energia do sistema no estado coerente.
(b) Determine os valores médios da posição
e do momento
para
no caso do estado coerente, onde
e
. Compare o resultado com a evolução de um oscilador clássico.
(c) Demonstre que para o oscilador harmônico o valor médio da posição evolui, independente do estado, exatamente como a coordenada
do oscilador harmônico clássico para alguma condição inicial. Quais são as condições iniciais associadas a um autoestado de energia
e ao estado coerente
?
Dica: A evolução temporal de um operador
, sem dependência explícita no tempo, é dada pela equação de Heinsenberg
(b) Determine os valores médios da posição
(c) Demonstre que para o oscilador harmônico o valor médio da posição evolui, independente do estado, exatamente como a coordenada
Dica: A evolução temporal de um operador
Passo 1
Resumindo, estamos na representação de Heisenberg, com
e queremos:
- Determinar
a partir de e calcular em . - Calcular
e em e comparar com o oscilador clássico. - Mostrar que
satisfaz a equação de um oscilador clássico e achar as condições iniciais para e .
Para isso usamos a equação de Heisenberg
Passo 2
Aplicamos
com
. Como
, obtemos
cuja solução com
é
Passo 3
O valor médio da energia em é
pois
.
Passo 4
Escrevendo
e usando
, achamos
Isso é idêntico à solução clássica
com
.
Passo 5
De modo geral, de Heisenberg para
vem
que é a equação do oscilador clássico. As condições iniciais são
e
.
Para o autoestado : , logo
Para o coerente :
Para o autoestado :
Para o coerente :
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
, em perfeita concordância com o oscilador clássico.
(c) De modo geral satisfaz
. Para :
. Para :
.
(b)
(c) De modo geral