Questão 2(1,5 pontos) resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. A questão pede para encontrar as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ que satisfazem o seguinte sistema:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de eliminação para resolver esse sistema passo a passo.
Passo 2
Vamos começar somando as três equações do sistema para simplificar. Somando:
Simplificando o lado direito:
Isso nos dá:
onde $ S = x + y + z $.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial simples para $ S $:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para essa equação é:
onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 4
Sabemos que $ S = x + y + z = C e^{2t} $. Agora, vamos expressar cada variável em termos das outras. Pegando a primeira equação do sistema:
Temos então:
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem para $ x(t) $.
Passo 5
Para resolver $ \frac{d x}{dt} + x = C e^{2t} $, usamos o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Multiplicando toda a equação por $ e^{t} $:
O lado esquerdo agora é a derivada de $ x e^{t} $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
onde $ K $ é a constante de integração.
Isolando $ x(t) $:
Passo 7
De maneira similar, podemos resolver para $ y(t) $ e $ z(t) $ seguindo os mesmos passos:
Como $ S = x + y + z = C e^{2t} $, somando essas expressões:
Isso implica que:
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde $ C $, $ K $, $ M $ e $ N $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.