Questão 2(1,5 pontos) resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.
l d xd t=y+z d yd t=x+z d zd t=x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. A questão pede para encontrar as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ que satisfazem o seguinte sistema:
x(t)
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de eliminação para resolver esse sistema passo a passo.

Passo 2

Vamos começar somando as três equações do sistema para simplificar. Somando:
d xd t + d yd t + d zd t = (y + z) + (x + z) + (x + y)
Simplificando o lado direito:
ddt(x + y + z) = 2x + 2y + 2z
Isso nos dá:
d Sdt = 2S
onde $ S = x + y + z $.

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial simples para $ S $:
S
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para essa equação é:
d Sdt = 2S
onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 4

Sabemos que $ S = x + y + z = C e^{2t} $. Agora, vamos expressar cada variável em termos das outras. Pegando a primeira equação do sistema:
S = x + y + z = C e^2t
Temos então:
d xd t = y + z = S - x = C e^2t - x
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem para $ x(t) $.

Passo 5

Para resolver $ \frac{d x}{dt} + x = C e^{2t} $, usamos o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
d xdt + x = C e^2t
Multiplicando toda a equação por $ e^{t} $:
mu(t)
O lado esquerdo agora é a derivada de $ x e^{t} $:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
onde $ K $ é a constante de integração.
Isolando $ x(t) $:
x e^t = integral C e^3t , dt = C3 e^3t + K

Passo 7

De maneira similar, podemos resolver para $ y(t) $ e $ z(t) $ seguindo os mesmos passos:
y(t)
z(t)
Como $ S = x + y + z = C e^{2t} $, somando essas expressões:
y(t) = C3 e^2t + M e^-t
Isso implica que:
z(t) = C3 e^2t + N e^-t

Resposta

As soluções do sistema são:
boxed x(t) = dfracC3 e^2t + K e^-t y(t) = dfracC3 e^2t + M e^-t z(t) = dfracC3 e^2t + N e^-t com K + M + N = 0
Onde $ C $, $ K $, $ M $ e $ N $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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