Questão 2 (5 pontos): A agulha de um toca-discos se desloca ao longo do sulco de um disco de vinil cuja geometria pode ser modelada aproximadamente por uma espiral de Arquimedes, dada pela equaçăo em coordenadas polares:
. Determine:
.
b) Sabendo que um disco de vinil gira com velocidade angular constante em torno de
, e possui como valores típicos
e
, calcule a velocidade radial da agulha.
b) Sabendo que um disco de vinil gira com velocidade angular constante em torno de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- (a) determinar
(a aceleração angular da agulha no referencial polar usado); - (b) calcular a velocidade radial da agulha sabendo que o disco gira com velocidade angular constante
e que os parâmetros da espiral são e .
Informações dadas e relevantes (peguei estes valores do enunciado):
- A curva do sulco é uma espiral de Arquimedes descrita por
-
-
- O disco gira com velocidade angular constante
O que é pedido:
- Encontrar
(parte a). - Calcular a velocidade radial
da agulha usando os valores dados (parte b).
Passo 2
Entender a relação entre
e a rotação do disco. Explicando devagar e sem pulo de etapas: quando o disco gira com velocidade angular constante
, a coordenada angular do ponto de contato entre agulha e sulco (no referencial polar em que a espiral está descrita) varia no tempo de maneira linear. Isso significa que a função
é da forma
onde
é o ângulo inicial e
é a velocidade angular constante (em rad/s). Aqui é importante: velocidade angular constante implica variação angular com taxa constante.
Passo 3
Diferenciações de
. Se
, então a derivada temporal primeira é
ou seja,
é constante. Diferenciando novamente no tempo, a derivada segunda (aceleração angular) é
Explicação didática: aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular; como a velocidade é constante, sua variação é zero. Portanto a resposta do item (a) é
.
Passo 4
Relacionar a equação da espiral com a velocidade radial. A curva é
. Trata-se de uma relação entre
e
. Para obter a velocidade radial
(derivada temporal de
), usamos a regra da cadeia (porque
depende de
e
depende de
):
Aqui
é a derivada da função
em relação a
e
é a velocidade angular. Para
temos
logo
Isto é simples: a velocidade radial é
vezes a velocidade angular.
Passo 5
Converter
de
para
(passo essencial para obter
em mm/s). Fazer devagar:
Uma revolução equivale a
radianos e
. Então
Valor numérico aproximado:
Passo 6
Calcular
numericamente usando
, com
e
em
. Substituindo:
Agora calcular o produto (faço a conta passo a passo sem calculadora complexa — multiplicação direta):
Como
é negativo, então
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
Passo 7
Interpretação física e observação útil para a prova (didática e motivadora):
- O sinal negativo em
indica que o raio está diminuindo com o tempo: a agulha se move para dentro (mais próxima do centro) à medida que o disco gira — isso faz sentido físico, pois os sulcos vão em espiral para dentro. - A aceleração angular
significa que não há variação da velocidade angular (o disco gira uniformemente). - Fórmula curta que pode ser decorada para prova: se
e varia com taxa , então . Sempre atente para unidades: converta para antes de multiplicar por em .
Resposta
(a)
.
(b)
.