Questão 2 (5 pontos): A agulha de um toca-discos se desloca ao longo do sulco de um disco de vinil cuja geometria pode ser modelada aproximadamente por uma espiral de Arquimedes, dada pela equaçăo em coordenadas polares: r=a+b \theta. Determine:
\ddot{\theta}.
b) Sabendo que um disco de vinil gira com velocidade angular constante em torno de \omega=33 \mathrm{rpm}, e possui como valores típicos a=0,145 \mathrm{~mm} e b=-0,029 \mathrm{~mm} / \mathrm{rad}, calcule a velocidade radial da agulha.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • (a) determinar \ddot{\theta} (a aceleração angular da agulha no referencial polar usado);
  • (b) calcular a velocidade radial da agulha sabendo que o disco gira com velocidade angular constante \omega=33\\ \mathrm{rpm} e que os parâmetros da espiral são a=0,145\\ \mathrm{mm} e b=-0,029\\ \mathrm{mm/rad}.
Informações dadas e relevantes (peguei estes valores do enunciado):
  • A curva do sulco é uma espiral de Arquimedes descrita por \,r=a+b\theta\,.
  • a=0,145\\ \mathrm{mm}.
  • b=-0,029\\ \mathrm{mm/rad}.
  • O disco gira com velocidade angular constante \omega=33\\ \mathrm{rpm}.
O que é pedido:
  • Encontrar \ddot{\theta} (parte a).
  • Calcular a velocidade radial \dot r da agulha usando os valores dados (parte b).

Passo 2

Entender a relação entre \theta(t) e a rotação do disco. Explicando devagar e sem pulo de etapas: quando o disco gira com velocidade angular constante \omega, a coordenada angular do ponto de contato entre agulha e sulco (no referencial polar em que a espiral está descrita) varia no tempo de maneira linear. Isso significa que a função \theta(t) é da forma
\theta(t)=\theta_0+\omega t,
onde \theta_0 é o ângulo inicial e \omega é a velocidade angular constante (em rad/s). Aqui é importante: velocidade angular constante implica variação angular com taxa constante.

Passo 3

Diferenciações de \theta(t). Se \theta(t)=\theta_0+\omega t, então a derivada temporal primeira é
\dot{\theta}(t)=\frac{d\theta}{dt}=\omega,
ou seja, \dot{\theta} é constante. Diferenciando novamente no tempo, a derivada segunda (aceleração angular) é
\ddot{\theta}(t)=\frac{d^2\theta}{dt^2}=0.
Explicação didática: aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular; como a velocidade é constante, sua variação é zero. Portanto a resposta do item (a) é \ddot{\theta}=0.

Passo 4

Relacionar a equação da espiral com a velocidade radial. A curva é r=a+b\theta. Trata-se de uma relação entre r e \theta. Para obter a velocidade radial \dot r (derivada temporal de r), usamos a regra da cadeia (porque r depende de \theta e \theta depende de t):
\dot r=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}.
Aqui \dfrac{dr}{d\theta} é a derivada da função r(\theta) em relação a \theta e \dfrac{d\theta}{dt}=\dot\theta é a velocidade angular. Para r=a+b\theta temos
\frac{dr}{d\theta}=b,
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\dot r=b\,\dot\theta.
Isto é simples: a velocidade radial é b vezes a velocidade angular.

Passo 5

Converter \omega de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} (passo essencial para obter \dot r em mm/s). Fazer devagar:
\omega=33\\ \mathrm{rpm}=33\\ \frac{\text{revoluções}}{\text{minuto}}.çõ
Uma revolução equivale a 2\pi radianos e 1\\ \text{minuto}=60\\ \text{s}. Então
\omega=33\cdot\frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{60\\ \mathrm{s}}=\frac{33}{30}\pi=1{,}1\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega\approx1{,}1\pi\approx3{,}4557519\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular \dot r numericamente usando \dot r=b\,\omega, com b=-0,029\\ \mathrm{mm/rad} e \omega em \mathrm{rad/s}. Substituindo:
\dot r = b\,\omega = (-0,029)\times(1{,}1\pi)\\ \mathrm{mm/s}.
Agora calcular o produto (faço a conta passo a passo sem calculadora complexa — multiplicação direta):
1{,}1\pi\approx3{,}4557519, \qquad 0{,}029\times3{,}4557519\approx0{,}1002168.
Como b é negativo, então
\dot r\approx-0{,}1002168\\ \mathrm{mm/s}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
\dot r\approx-0{,}100\\ \mathrm{mm/s}.

Passo 7

Interpretação física e observação útil para a prova (didática e motivadora):
  • O sinal negativo em \dot r indica que o raio está diminuindo com o tempo: a agulha se move para dentro (mais próxima do centro) à medida que o disco gira — isso faz sentido físico, pois os sulcos vão em espiral para dentro.
  • A aceleração angular \ddot{\theta}=0 significa que não há variação da velocidade angular (o disco gira uniformemente).
  • Fórmula curta que pode ser decorada para prova: se r=a+b\theta e \theta varia com taxa \omega, então \dot r=b\omega. Sempre atente para unidades: converta \omega para \mathrm{rad/s} antes de multiplicar por b em \mathrm{mm/rad}.

Resposta

(a) \ddot{\theta}=0.
(b) \dot r\approx-0{,}100\\ \mathrm{mm/s}.

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