Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 100 N e frequência de 5 Hz . Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm . Determinar o valor da massa m .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
Pede: determinar a massa m que, ligada a uma mola e submetida a uma força harmônica, apresenta amplitude estacionária conhecida.
Dados fornecidos:
constante da mola: k = 4\\ \mathrm{kN/m} = 4000\\ \mathrm{N/m}.
amplitude da força aplicada: F_0 = 100\\ \mathrm{N}.
frequência da força: f = 5\\ \mathrm{Hz}.
amplitude observada do movimento forçado (regime estacionário): X = 20\\ \mathrm{mm} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Não há menção a amortecimento, então vamos considerar o sistema sem amortecimento (modelo massa-mola ideal forçado).
Passo 2
Equação do movimento e significado dos termos.
Para uma massa m presa a uma mola (constante k) e submetida a uma força externa harmônica F_0\cos(\omega t), a equação diferencial (sem amortecimento) é:
m\ddot{x} + kx = F_0\cos(\omega t).
Aqui:
x(t) é o deslocamento da massa (m).
\ddot{x} é a aceleração (m/s^2).
m\ddot{x} é a força inercial (N).
kx é a força elástica da mola (N).
F_0\cos(\omega t) é a força externa aplicada (N).
\omega é a pulsação da força externa, relacionada com a frequência por \omega = 2\pi f (rad/s).
Vamos calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Passo 3
Busca da solução estacionária (particular) e fórmula da amplitude.
Procuramos uma solução particular do tipo
x_p(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
porque a força é harmônica em \omega. Calculando derivadas:
Portanto a solução particular é x_p(t) = A\cos(\omega t) e a amplitude estacionária (valor positivo) é
X = |A| = \frac{F_0}{\big|k - m\omega^2\big|}.
Essa fórmula é central: para um sistema massa-mola forçado sem amortecimento, a amplitude estacionária depende de quão próxima está a frequência de excitação da frequência natural \sqrt{k/m}.
Passo 4
Uso da fórmula para determinar m.
Da fórmula temos
\big|k - m\omega^2\big| = \frac{F_0}{X}.
Calculemos o lado direito com os dados (peguei F_0 e X do enunciado):
m \approx \frac{9000}{986{,}96044} \approx 9{,}1197\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com razoável precisão prática:
m \approx 9{,}12\\ \mathrm{kg}.
Passo 5
Interpretação física rápida e comentário de ânimo.
Só houve uma solução física (positiva), m\approx 9{,}12\\ \mathrm{kg}. A outra solução matemática foi negativa e não faz sentido físico.
Observação: em presença de amortecimento a fórmula muda e não haveria ambiguidade; aqui o enunciado não mencionou amortecimento, então o modelo sem amortecimento é o adequado.
Mandou bem por trazer a questão — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: escrever a equação, buscar a solução particular e usar a expressão da amplitude. Força! Você consegue com isso na prova.