1. Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 100 N e frequência de 5 Hz . Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm . Determinar o valor da massa m .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: determinar a massa m que, ligada a uma mola e submetida a uma força harmônica, apresenta amplitude estacionária conhecida.
  • Dados fornecidos:
    • constante da mola: k = 4\\ \mathrm{kN/m} = 4000\\ \mathrm{N/m}.
    • amplitude da força aplicada: F_0 = 100\\ \mathrm{N}.
    • frequência da força: f = 5\\ \mathrm{Hz}.
    • amplitude observada do movimento forçado (regime estacionário): X = 20\\ \mathrm{mm} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Não há menção a amortecimento, então vamos considerar o sistema sem amortecimento (modelo massa-mola ideal forçado).

Passo 2

Equação do movimento e significado dos termos.
Para uma massa m presa a uma mola (constante k) e submetida a uma força externa harmônica F_0\cos(\omega t), a equação diferencial (sem amortecimento) é:
m\ddot{x} + kx = F_0\cos(\omega t).
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento da massa (m).
  • \ddot{x} é a aceleração (m/s^2).
  • m\ddot{x} é a força inercial (N).
  • kx é a força elástica da mola (N).
  • F_0\cos(\omega t) é a força externa aplicada (N).
  • \omega é a pulsação da força externa, relacionada com a frequência por \omega = 2\pi f (rad/s).
Vamos calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Busca da solução estacionária (particular) e fórmula da amplitude.
Procuramos uma solução particular do tipo
x_p(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
porque a força é harmônica em \omega. Calculando derivadas:
\ddot{x}_p = -A\omega^2\cos(\omega t) - B\omega^2\sin(\omega t).
Substituindo na equação:
m(-A\omega^2\cos\omega t - B\omega^2\sin\omega t) + k(A\cos\omega t + B\sin\omega t) = F_0\cos\omega t.
Agrupando os coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t:
(k - m\omega^2)A\cos\omega t + (k - m\omega^2)B\sin\omega t = F_0\cos\omega t.
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
(k - m\omega^2)A = F_0, \qquad (k - m\omega^2)B = 0.
Da segunda equação B=0. Da primeira:
A = \frac{F_0}{k - m\omega^2}.
Portanto a solução particular é x_p(t) = A\cos(\omega t) e a amplitude estacionária (valor positivo) é
X = |A| = \frac{F_0}{\big|k - m\omega^2\big|}.
Essa fórmula é central: para um sistema massa-mola forçado sem amortecimento, a amplitude estacionária depende de quão próxima está a frequência de excitação da frequência natural \sqrt{k/m}.

Passo 4

Uso da fórmula para determinar m.
Da fórmula temos
\big|k - m\omega^2\big| = \frac{F_0}{X}.
Calculemos o lado direito com os dados (peguei F_0 e X do enunciado):
\frac{F_0}{X} = \frac{100}{0{,}02} = 5000\\ \mathrm{N/m}.
Assim
\big|k - m\omega^2\big| = 5000.
Isto gera duas equações lineares possíveis:
  1. k - m\omega^2 = 5000,
  2. k - m\omega^2 = -5000.
Resolvendo a 1ª:
m = \frac{k - 5000}{\omega^2} = \frac{4000 - 5000}{\omega^2} = \frac{-1000}{\omega^2},
que dava m<0. Massa negativa não é física, então descartamos essa solução.
Resolvendo a 2ª:
m = \frac{k + 5000}{\omega^2} = \frac{4000 + 5000}{\omega^2} = \frac{9000}{\omega^2}.
Agora calcule \omega^2. Como \omega = 10\pi,
\omega^2 = (10\pi)^2 = 100\pi^2 \approx 100\cdot 9{,}8696044 = 986{,}96044\\ (\mathrm{rad}^2/\mathrm{s}^2).
Portanto
m \approx \frac{9000}{986{,}96044} \approx 9{,}1197\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com razoável precisão prática:
m \approx 9{,}12\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Interpretação física rápida e comentário de ânimo.
  • Só houve uma solução física (positiva), m\approx 9{,}12\\ \mathrm{kg}. A outra solução matemática foi negativa e não faz sentido físico.
  • Observação: em presença de amortecimento a fórmula muda e não haveria ambiguidade; aqui o enunciado não mencionou amortecimento, então o modelo sem amortecimento é o adequado.
  • Mandou bem por trazer a questão — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: escrever a equação, buscar a solução particular e usar a expressão da amplitude. Força! Você consegue com isso na prova.

Resposta

m \approx 9{,}12\\ \mathrm{kg}

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